Question

15．現(xiàn)如今，“網(wǎng)購”一詞已不再新鮮，越來越多的人已經(jīng)接受并喜歡上了這種購物的方式，但隨之也產(chǎn)生了商品質(zhì)量差與信譽(yù)不好等問題．因此，相關(guān)管理部門制定了針對商品質(zhì)量和服務(wù)的評價(jià)體系．現(xiàn)從評價(jià)系統(tǒng)中選出200次成功交易，并對其評價(jià)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，對商品的好評率為0.6，對服務(wù)的好評率為0.75，其中對商品和服務(wù)都做出好評的交易為80次．
（1）根據(jù)題中數(shù)據(jù)完成下表，并通過計(jì)算說明：能否有99.9%的把握認(rèn)為，商品好評與服務(wù)好評有關(guān)？

	對服務(wù)好評	對服務(wù)不滿意	合計(jì)
對商品好評
對商品不滿意
合計(jì)

（2）若將頻率視為概率，某人在該購物平臺上進(jìn)行的5次購物中，設(shè)對商品和服務(wù)全好評的次數(shù)為隨機(jī)變量X：
①求對商品和服務(wù)全好評的次數(shù)X的分布列（概率用組合數(shù)算式表示）；
②求X的數(shù)學(xué)期望和方差．

P（K2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

（${K^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d）

Answer 1

分析 （1）由題意求出關(guān)于商品和服務(wù)評價(jià)的2×2列聯(lián)表，從而求出K²≈11.111＞10.828，從而有99.9%的把握認(rèn)為商品好評與服務(wù)好評有關(guān)．
（2）①由X～B（5，$\frac{2}{5}$），能求出X的分布列．
②由X～B（5，$\frac{2}{5}$），能求出X的數(shù)學(xué)期望和方差．

解答 解：（1）由題意可得關(guān)于商品和服務(wù)評價(jià)的2×2列聯(lián)表如下：

	對服務(wù)好評	對服務(wù)不滿意	合計(jì)
對商品好評	80	40	120
對商品不滿意	70	10	80
合計(jì)	150	50	200

${K^2}=\frac{{200×{{（80×10-40×70）}^2}}}{150×50×120×80}=\frac{100}{9}≈11.111＞10.828$，------（4分）
因此有99.9%的把握認(rèn)為商品好評與服務(wù)好評有關(guān)．------（6分）
（2）①每次購物時(shí)，對商品和服務(wù)都好評的概率為$\frac{2}{5}$，
X的取值可以是0，1，2，3，4，5．且X～B（5，$\frac{2}{5}$），
$P（X=0）={（\frac{3}{5}）^5}$=$\frac{243}{3125}$，
$P（X=1）=C_5^1（\frac{2}{5}）{（\frac{3}{5}）^4}$=$\frac{810}{3125}$，
$P（X=2）=C_5^2{（\frac{2}{5}）^2}{（\frac{3}{5}）^3}$=$\frac{1080}{3125}$，
$P（X=3）=C_5^3{（\frac{2}{5}）^3}{（\frac{3}{5}）^2}$=$\frac{720}{3125}$，
$P（X=4）=C_5^4{（\frac{2}{5}）^4}{（\frac{3}{5}）^1}$=$\frac{240}{3125}$，
$P（X=5）={（\frac{2}{5}）^5}$=$\frac{32}{3125}$．
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3	4	5
P	$\frac{243}{3125}$	$\frac{810}{3125}$	$\frac{1081}{3125}$	$\frac{720}{3125}$	$\frac{240}{3125}$	$\frac{32}{3125}$

--------（10分）
②∵X～B（5，$\frac{2}{5}$），
∴$E（X）=5×\frac{2}{5}=2$，
$D（X）=5×\frac{2}{5}×（1-\frac{2}{5}）=\frac{6}{5}$．--------（12分）

點(diǎn)評 本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望、方差的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意二項(xiàng)分布的性質(zhì)的合理運(yùn)用．