Question

5．若實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x+3y-3≥0}\\{2x-y-3≤0}\\{x-y+1≥0}\\{\;}\end{array}\right.$．
（Ⅰ）求目標(biāo)函數(shù)z=x+y的最大值；
（Ⅱ）求目標(biāo)函數(shù)z=x²+y²的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，平移直線y=-x，進(jìn)行求解即可．
（Ⅱ）利用z=x²+y²是點(diǎn)（x，y）到原點(diǎn)的距離的平方，利用距離公式進(jìn)行求解即可．

解答 解：（I）畫出可行域如圖：…（4分）
令z=x+y，可變?yōu)閥=-x+z，
作出目標(biāo)函數(shù)線y=-x，平移目標(biāo)函數(shù)線，顯然過點(diǎn)A時z最大．
由$\left\{\begin{array}{l}{2x-y-3=0}\\{x-y+1=0}\end{array}\right.$，得A（4，5），∴z的最大值為z=4+5=9．…（8分）
（II）z=x²+y²是點(diǎn)（x，y）到原點(diǎn)的距離的平方，
故最大值為點(diǎn)A（4，5）到原點(diǎn)的距離的平方
即|AO|²=x²+y²=4²+5²=41．…（10分）

點(diǎn)評 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，根據(jù)直線平移以及兩點(diǎn)間的距離公式是解決本題的關(guān)鍵．