Question

18．設F（x）=${∫}_{0}^{x}$tf（x²-t²）dt，f（x）連續(xù)，則F′（x）=xf（x²）．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，令u=x²-t²，表示出F（x）=${∫}_{0}^{x}$tf（x²-t²）dt=$\frac{1}{2}$${∫}_{0}^{{x}^{2}}$f（u）du；求出F′（x）即可．

解答 解：令u=x²-t²，
則當t=0時，u=x²；
當t=x時，u=0，且$\fractj1p3zh{dt}$u=-2t；
∴F（x）=${∫}_{0}^{x}$tf（x²-t²）dt=$\frac{1}{2}$${∫}_{{x}^{2}}^{0}$f（u）du=$\frac{1}{2}$${∫}_{0}^{{x}^{2}}$f（u）du；
∴F′（x）=$\frac{1}{2}$•f（x²）•2x=xf（x²）．
故答案為：xf（x²）．

點評 本題考查了定積分與求函數(shù)導數(shù)的應用問題，也考查了換元法與構造函數(shù)的應用問題，是難題．