Question

如圖，已知橢圓的離心率為，以該橢圓上的點(diǎn)和橢圓的左、右焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂為頂點(diǎn)的三角形的周長(zhǎng)為．一等軸雙曲線的頂點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn)，設(shè)P為該雙曲線上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，直線PF₁和PF₂與橢圓的交點(diǎn)分別為A、B和C、D．
（Ⅰ）求橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)直線PF₁、PF₂的斜率分別為k₁、k₂，證明k₁•k₂=1；
（Ⅲ）是否存在常數(shù)λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題意知，橢圓離心率為=，及橢圓的定義得到又2a+2c=，解方程組即可求得橢圓的方程，等軸雙曲線的頂點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn)可求得該雙曲線的方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P（x，y），根據(jù)斜率公式求得k₁、k₂，把點(diǎn)P（x，y）在雙曲線上，即可證明結(jié)果；
（Ⅲ）設(shè)直線AB的方程為y=k（x+2），則可求出直線CD的方程為y=（x-2），聯(lián)立直線和橢圓方程，利用韋達(dá)定理，即可求得|AB|，|CD|，代入|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|，求得λ的值．
解答：解：（Ⅰ）由題意知，橢圓離心率為=，
得，又2a+2c=，
所以可解得，c=2，所以b²=a²-c²=4，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
所以橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（±2，0），
因?yàn)殡p曲線為等軸雙曲線，且頂點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn)，
所以該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P（x，y），
則k₁=，k₂=，
∴k₁•k₂==，
又點(diǎn)P（x，y）在雙曲線上，
∴，即y²=x²-4，
∴k₁•k₂==1．
（Ⅲ）假設(shè)存在常數(shù)λ，使得得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立，
則由（II）知k₁•k₂=1，
∴設(shè)直線AB的方程為y=k（x+2），則直線CD的方程為y=（x-2），
由方程組消y得：（2k²+1）x²+8k²x+8k²-8=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則由韋達(dá)定理得，，
∴AB==，
同理可得CD===，
∵|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|，
∴λ==-==，
∴存在常數(shù)λ=，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的定義、離心率、橢圓與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，是一道綜合性的試題，考查了學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力．其中問(wèn)題（III）是一個(gè)開(kāi)放性問(wèn)題，考查了同學(xué)們觀察、推理以及創(chuàng)造性地分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力．