Question

2．已知函數(shù)f（x）=x²+bx+1滿足f（1+x）=f（1-x），$g（x）=\frac{f（x）}{x}$．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）判斷g（x）在[1，2]上的單調(diào)性并用定義證明你的結(jié)論；
（3）求g（x）在[1，2]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）利用二次函數(shù)的對(duì)稱性求出b，然后求解函數(shù)的解析式．
（2）判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性的定義證明即可．
（3）利用函數(shù)的單調(diào)性，直接求解函數(shù)的最值即可．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=x²+bx+1滿足f（1+x）=f（1-x），
可知函數(shù)的對(duì)稱軸為：x=1，所以$-\frac{2}=1$，b=-2，
函數(shù)f（x）的解析式：f（x）=x²-2x+1．
（2）$g（x）=\frac{f（x）}{x}$=x+$\frac{1}{x}$-2，g（x）在[1，2]上的單調(diào)性是增函數(shù)，
證明：設(shè)1≤x₁＜x₂≤2，x₁-x₂＜0，$1-\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}$＞0，
g（x₁）-g（x₂）=x₁-x₂+$\frac{1}{{x}_{1}}$$-\frac{1}{{x}_{2}}$=（x₁-x₂）（$1-\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}$）＜0，
g（x₁）＜g（x₂），
所以函數(shù)g（x）在[1，2]上是增函數(shù)．
（3）由（2）可知，函數(shù)是增函數(shù)，函數(shù)的最小值為：g（1）=0，
函數(shù)的最大值為：g（2）=$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)的簡(jiǎn)單性質(zhì)以及解析式的求法，函數(shù)的單調(diào)性的判斷與證明，單調(diào)性的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．