分析 (I)由f(x)+f(y)=f(x+y),令x=y=0,解得f(0).
(II)令y=-x,則f(x)+f(-x)=f(0)=0,即可證明.
(III)任取-3≤x1<x2≤3,則f(x2)=f(x1+x2-x1)=f(x1)+f(x2-x1),利用當x>0時,f(x)<0,
即可得出f(x)在[-3,3]上是減函數(shù).可得f(x)在[-3,3]上的最大值為f(3).由f(1)=-2,可得f(2)=2f(1),f(3)=f(2)+f(1).當-3≤x≤3時,不等式f(x)≤2m-1恒成立,f(x)max≤2m-1,即可得出.
解答 (I)解:由f(x)+f(y)=f(x+y),
令x=y=0,則2f(0)=f(0),解得f(0)=0.
(II)證明:令y=-x,則f(x)+f(-x)=f(0)=0,
∴f(-x)=-f(x).
∴f(x)在[-1,1]上的奇函數(shù).
(III)解:任取-3≤x1<x2≤3,則f(x2)=f(x1+x2-x1)=f(x1)+f(x2-x1),
由x2-x1>0,∴f(x2-x1)<0,∴f(x2)<f(x1),
∴f(x)在[-3,3]上是減函數(shù).
∴f(x)在[-3,3]上的最大值為f(3).
∵f(1)=-2,∴f(2)=2f(1)=-4,
f(3)=f(2)+f(1)=-4-2=-6.
當-3≤x≤3時,不等式f(x)≤2m-1恒成立,
∴f(x)max≤2m-1,∴-6≤2m-1,解得m≥$-\frac{5}{2}$.
∴m的取值范圍是$[-\frac{5}{2},+∞)$.
點評 本題考查了抽象函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性、不等式的解法,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.
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A. | $\frac{2}{2n+1}$ | B. | $\frac{2n}{2n+1}$ | C. | $\frac{n}{2n+1}$ | D. | $\frac{1}{2n+1}$ |
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A. | $\frac{5π}{6}$ | B. | $\frac{2π}{3}$ | C. | $\frac{π}{3}$ | D. | $\frac{π}{6}$ |
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A. | [-1,2] | B. | [0,2] | C. | [1,+∞) | D. | [0,+∞) |
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