Question

14．已知函數f（x）定義在R上的偶函數，且在[0，+∞）上為減函數，若f（log₂m）+f（log${\;}_{\frac{1}{2}}$m）≤2f（1），則m的取值范圍是（　　）

• A． [2，+∞）
• B． （-∞，$\frac{1}{2}$]
• C． （$\frac{1}{2}$，2]
• D． （0，$\frac{1}{2}$]∪[2，+∞）

Answer 1

分析 由偶函數的性質將f（log₂m）+f（log${\;}_{\frac{1}{2}}$m）≤2f（1），化為：f（log₂m）≤f（1），再由f（x）的單調性列出不等式，根據對數函數的性質求出m的取值范圍．

解答 解：因為函數f（x）是定義在R上的偶函數，
所以f（log${\;}_{\frac{1}{2}}$m）=f（log₂m）f（log₂m），
則f（log₂m）+f（log${\;}_{\frac{1}{2}}$m）≤2f（1）為：f（log₂m）≤f（1），
因為函數f（x）在區(qū)間[0，+∞）上為減函數
所以|log₂m|≥1，解得0＜m≤$\frac{1}{2}$或m≥2，
則m的取值范圍是（0，$\frac{1}{2}$]∪[2，+∞）．
故選：D

點評 本題考查函數的奇偶性、單調性的應用，以及對數函數的性質，屬于基礎題．