Question

已知函數(shù)f（x）=log_a

1+x

1-x

（其中a＞0且a≠1）．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性并給出證明；
（3）若x∈[0，

1

2

]時，函數(shù)f（x）的值域是[0，1]，求實數(shù)a的值．

Answer 1

考點：對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì),函數(shù)的值域,函數(shù)奇偶性的判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)對數(shù)的真實大于零求解即可；
（2）利用函數(shù)的奇偶性判斷證明；
（3）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的值域

解答： 解：（1）由條件知

1+x

1-x

＞0，解得-1＜x＜1，所以函數(shù)的定義域為（-1，1）；
（2）由（1）知函數(shù)f（x）的定義域關(guān)于原點對稱．
f（-x）=log a

1-x

1+x

=log a(

1+x

1-x

)-1=-log a

1+x

1-x

=-f（x）
所以f（x）是奇函數(shù)．
（3）f（x）=log a

1+x

1-x

=log a

x-1+2

1-x

=log a(-1-

2

x-1

)記g（x）=-1-

2

x-1

，
則g（x）=-1-

2

x-1

，[0，

1

2

]上單調(diào)遞增，因此當(dāng)a＞1時，f（x）在[0，

1

2

]上單調(diào)遞增，
由f（

1

2

）=1得a=3；
當(dāng)0＜a＜1時，f（x）在[0，

1

2

]上單調(diào)遞減，由f（0）=1得出矛盾，a∈∅；綜上可知a=3．

點評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性和值域問題．