Question

已知橢圓C以雙曲線x²-

y2

3

=1的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，頂點(diǎn)為焦點(diǎn)且過橢圓右焦點(diǎn)F，斜率為k的直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)．
（1）橢圓C的方程
（2）若

AF

=2

FB

，求直線l的斜率k
（3）若橢圓左頂點(diǎn)為M，求△MAB的面積S的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,平面向量及應(yīng)用,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）求出雙曲線的焦點(diǎn)，頂點(diǎn)，即有橢圓的c=1，a=2，進(jìn)而得到b，則有橢圓的方程；
（2）求出橢圓的右焦點(diǎn)，設(shè)出直線方程與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理和向量共線的知識(shí)，即可得到直線的斜率；
（3）求出橢圓的左頂點(diǎn)，△MAB的面積S=S_△MAF+S_△MBF=

1

2

×3|y₁-y₂|，再由（2），化簡(jiǎn)可得S═

3

2

•|k|•

12 1+k2

3+4k2

，令t=3+4k²（t≥3），則k²=

t-3

4

，轉(zhuǎn)化為t的函數(shù)，再由二次函數(shù)的值域求法，即可得到所求范圍．

解答： 解：（1）雙曲線x²-

y2

3

=1的焦點(diǎn)為（-2，0），（2，0），
頂點(diǎn)為（-1，0），（1，0），
則由題意可得，橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，且c=1，a=2，b=

a2-c2

=

3

，
即有橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）橢圓的右焦點(diǎn)F（1，0），
設(shè)直線l的方程為y=k（x-1），
代入橢圓方程消y可得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=

8k2

3+4k2

①，x₁x₂=

4k2-12

3+4k2

②，
∵

AF

=2

FB

，∴1-x₁=2（x₂-1）③
聯(lián)立①②③可得k=±

5

2

；
（3）橢圓左頂點(diǎn)為M（-2，0），
△MAB的面積S=S_△MAF+S_△MBF=

1

2

×3|y₁-y₂|
=

3

2

•|k|•|x₁-x₂|=

3

2

|k|•

(x1+x2)2-4x1x2

=

3

2

|k|

64k4 (3+4k2)2 - 16(k2-3) 3+4k2

=

3

2

•|k|•

12 1+k2

3+4k2

，
令t=3+4k²（t≥3），則k²=

t-3

4

，
S=18•

1

4

(t-3)(t+1)

t

=

9

2

4 3 -3( 1 t + 1 3 )2

，
由于t≥3，則0＜

1

t

≤

1

3

，
則有0＜S＜

9

2

．
即△MAB的面積S的取值范圍是（0，

9

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量共線的坐標(biāo)表示，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．