Question

設(shè)公比不為1的等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若S₄，S₂，S₃成等差數(shù)列，且S₁=S₄+18．
（1）求S_n；
（2）若將滿足S_n≥2015的所有n由小到大依次構(gòu)成數(shù)列{b_k}，求數(shù)列{b_k}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q≠1，由S₄，S₂，S₃成等差數(shù)列，可得2S₂=S₄+S₃，又S₁=S₄+18．利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和的公式即可得出．
（2）由S_n≥2015即1-（-2）ⁿ≥2015，化為（-2）ⁿ≤-2014，對(duì)n分奇數(shù)偶數(shù)討論，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．

解答： 解：（1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q≠1，
∵S₄，S₂，S₃成等差數(shù)列，
∴2S₂=S₄+S₃，又S₁=S₄+18．
∴2a₁（1+q）=2a1(1+q+q2)+a1q3，a1=a1(1+q+q2+q3)+18，
解得q=-2，a₁=3．
∴S_n=

3[1-(-2)n]

1-(-2)

=1-（-2）ⁿ．
（2）由S_n≥2015即1-（-2）ⁿ≥2015，化為（-2）ⁿ≤-2014，
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，（-2）ⁿ＞0，上式不成立，舍去；
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，（-2）ⁿ≤-2014，化為2ⁿ≥2014，解得n≥11．即n為大于等于11的所有奇數(shù)．
∴b₁=11，b₂=13，b₃=15，…，
∴數(shù)列{b_k}為等差數(shù)列，首項(xiàng)為11，公差為2．
∴數(shù)列{b_k}的通項(xiàng)公式b_k=2k+9（k∈N^*）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和的公式，考查了分類討論思想方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．