Question

2．已知橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，右頂點(diǎn)A是拋物線y²=8x的焦點(diǎn)．過(guò)D（1，0）直線l與橢圓C相交于P，Q兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{AQ}$，且點(diǎn)M關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)N在y軸上，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）確定橢圓的幾何量，即可求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），直線l：y=k（x-1）與橢圓C聯(lián)立，確定M的坐標(biāo)，進(jìn)一步可得MN中點(diǎn)坐標(biāo)，由于M，N關(guān)于直線l對(duì)稱，所以M，N所在直線與直線l垂直，即可求k的值．

解答 解：（Ⅰ）拋物線y²=8x，
所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），即A（2，0），
所以a=2．
又因?yàn)閑=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，所以c=$\sqrt{3}$．
所以b=1，
所以橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．   …（4分）
（Ⅱ）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
因?yàn)?\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{AQ}$，
所以$\overrightarrow{AM}$=（x₁+x₂-4，y₁+y₂），
所以M（x₁+x₂-2，y₁+y₂）．
由直線l：y=k（x-1）與橢圓C聯(lián)立，得（4k²+1）x²-8k²x+4k²-4=0，
得x₁+x₂-2=-$\frac{2}{4{k}^{2}+1}$，y₁+y₂=$\frac{-2k}{4{k}^{2}+1}$，
即M（-$\frac{2}{4{k}^{2}+1}$，$\frac{-2k}{4{k}^{2}+1}$）．
設(shè)N（0，y₃），則MN中點(diǎn)坐標(biāo)為（-$\frac{1}{4{k}^{2}+1}$，$\frac{-k}{4{k}^{2}+1}$+$\frac{{y}_{3}}{2}$），
因?yàn)镸，N關(guān)于直線l對(duì)稱，
所以MN的中點(diǎn)在直線l上，
所以$\frac{-k}{4{k}^{2}+1}$+$\frac{{y}_{3}}{2}$=k（-$\frac{1}{4{k}^{2}+1}$-1），解得y₃=-2k，即N（0，-2k）．
由于M，N關(guān)于直線l對(duì)稱，所以M，N所在直線與直線l垂直，
所以$\frac{\frac{-2k}{4{k}^{2}+1}-（-2k）}{\frac{-2}{4{k}^{2}+1}-0}$•k=-1，解得k=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
因此直線l的方程為y=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$（x-1）．…（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的幾何性質(zhì)，考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．