Question

1．若對(duì)任意的正整數(shù)n，總存在正整數(shù)m，使得數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=a_m，則稱{a_n}是“回歸數(shù)列”．
（Ⅰ）①前n項(xiàng)和為${S_n}={2^n}$的數(shù)列{a_n}是否是“回歸數(shù)列”？并請(qǐng)說明理由；
②通項(xiàng)公式為b_n=2n的數(shù)列{b_n}是否是“回歸數(shù)列”？并請(qǐng)說明理由；
（Ⅱ）設(shè){a_n}是等差數(shù)列，首項(xiàng)a₁=1，公差d＜0，若{a_n}是“回歸數(shù)列”，求d的值；
（Ⅲ）是否對(duì)任意的等差數(shù)列{a_n}，總存在兩個(gè)“回歸數(shù)列”{b_n}和{c_n}，使得a_n=b_n+c_n（n∈N^*）成立，請(qǐng)給出你的結(jié)論，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用“當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁”即可得到a_n，再利用“回歸數(shù)列”的意義即可得出，②b_n=2n，S_n=n²+n=n（n+1），n（n+1）為偶數(shù)，即可證明數(shù)列{b_n}是“回歸數(shù)列”；
（2）利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和即可得出S_n，對(duì)?n∈N^*，?m∈N^*使S_n=a_m，取n=2和根據(jù)d＜0即可得出；
（3）設(shè){a_n}的公差為d，構(gòu)造數(shù)列：b_n=a₁-（n-1）a₁=（2-n）a₁，c_n=（n-1）（a₁+d），可證明{b_n}和{c_n}是等差數(shù)列．再利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式及其通項(xiàng)公式、“回歸數(shù)列”；即可得出．

解答 解：（Ⅰ）①當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ-2^n-1=2^n-1，
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=2．
當(dāng)n≥2時(shí)，S_n=a_n+1．
∴數(shù)列{a_n}是“回歸數(shù)列”；
②b_n=2n，前n項(xiàng)和S_n，S_n=n²+n=n（n+1），
∵n（n+1）為偶數(shù)，
∴存在2m=n（n+1），即m=$\frac{n（n+1）}{2}$，
數(shù)列{b_n}是否是“回歸數(shù)列”；
（2）S_n=na₁+$\frac{n（n-1）}{2}$d=n+$\frac{n（n-1）}{2}$d，
對(duì)?n∈N^*，?m∈N^*使S_n=a_m，即n+$\frac{n（n-1）}{2}$d=1+（m-1）d，
取n=2時(shí)，得1+d=（m-1）d，解得m=2+$\frac{1}llopbud$，
∵d＜0，∴m＜2，
又m∈N^*，∴m=1，∴d=-1．
（3）設(shè){a_n}的公差為d，令b_n=a₁-（n-1）a₁=（2-n）a₁，
對(duì)?n∈N^*，b_n+1-b_n=-a₁，
c_n=（n-1）（a₁+d），
對(duì)?n∈N^*，c_n+1-c_n=a₁+d，
則b_n+c_n=a₁+（n-1）d=a_n，且數(shù)列{b_n}和{c_n}是等差數(shù)列．
數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=na₁+$\frac{n（n-1）}{2}$（-a₁），
令T_n=（2-m）a₁，則m=$\frac{n（n-3）}{2}$+2．
當(dāng)n=1時(shí)，m=1；當(dāng)n=2時(shí)，m=1．
當(dāng)n≥3時(shí)，由于n與n-3的奇偶性不同，即n（n-3）為非負(fù)偶數(shù)，m∈N^*．
因此對(duì)?n∈N^*，都可找到m∈N^*，使T_n=b_m成立，即{b_n}為“回歸數(shù)列”；．
數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和R_n=$\frac{n（n-1）}{2}$（a₁+d），
令c_m=（m-1）（a₁+d）=R_n，則m=$\frac{n（n-1）}{2}$+1．
∵對(duì)?n∈N^*，n（n-3）為非負(fù)偶數(shù)，∴m∈N^*．
因此對(duì)?n∈N^*，都可找到m∈N^*，使R_n=c_m成立，即{c_n}為“回歸數(shù)列”；．
因此命題得證．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用“當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁”求a_n、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式及其通項(xiàng)公式、“回歸數(shù)列”意義等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了推理能力和計(jì)算能力、構(gòu)造法，屬于難題．