Question

9．各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}中，S_n是數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，對(duì)任意n∈N^*，有$2{S_n}=a_n^2+{a_n}$．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)和公比為2的等比數(shù)列，求數(shù)列{a_n•b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）由$2{S_n}=a_n^2+{a_n}$，得：$2{S_{n+1}}=a_{_{n+1}}^2+{a_{n+1}}$，從而得到a_n+1-a_n=1，再求出a₁=1，由此能求出a_n=n．
（2）求出${b_n}={2^n}$，從而a_nb_n=n•2ⁿ，由此利用錯(cuò)位相減法能求出數(shù)列{a_n•b_n}的前n項(xiàng)和．

解答 解：（1）由$2{S_n}=a_n^2+{a_n}$，①
得：$2{S}_{n+1}={{a}_{n+1}}^{2}+{{a}_{n+1}}^{\;}$，②
②-①，得：$2{a}_{n+1}={{a}_{n+1}}^{2}-{{a}_{n}}^{2}+{a}_{n+1}-{a}_{n}$，
∴（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-1）=0，
∵數(shù)列{a_n}中各項(xiàng)均為正數(shù)，∴a_n+1-a_n=1，
n=1時(shí)，$2{a}_{1}={{a}_{1}}^{2}+{a}_{1}$，解得a₁=1，
∴數(shù)列{a_n]是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，
∴a_n=n．
（2）∵數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)和公比為2的等比數(shù)列，∴${b_n}={2^n}$，
∴a_nb_n=n•2ⁿ，
∴數(shù)列{a_n•b_n}的前n項(xiàng)和：
${T_n}=1×2+2×{2^2}+3×{2^3}+…+n•{2^n}$，
$2{T_n}={2^2}+2×{2^3}+3×{2^4}+…+n×{2^{n+1}}$，
∴$-{T_n}=2+{2^2}+{2^3}+…+{2^n}-n•{2^{n+1}}=\frac{{2（1-{2^n}）}}{1-2}-n×{2^{n+1}}=-（n-1）•{2^{n+1}}-2$
∴${T_n}=（n-1）•{2^{n+1}}+2$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．