Question

【題目】已知二次函數(shù)f（x）滿足f（x+1）﹣f（x）=2x（x∈R），且f（0）=1，
（1）求f（x）的解析式；
（2）當x∈[﹣1，1]時，求函數(shù)g（x）=f（x）﹣2x的值域．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)二次函數(shù)的解析式為f（x）=ax2+bx+c （a≠0），

由f（0）=1得c=1，

故f（x）=ax2+bx+1．

因為f（x+1）﹣f（x）=2x，

所以a（x+1）2+b（x+1）+1﹣（ax2+bx+1）=2x．

即2ax+a+b=2x，

根據(jù)系數(shù)對應(yīng)相等 ，

∴ ，

所以f（x）=x2﹣x+1

（2）解：當x∈[﹣1，1]時，函數(shù)g（x）=f（x）﹣2x=x2﹣3x+1

=（x﹣ ）2﹣ ，

對稱軸為x= ，區(qū)間[﹣1，1]在對稱軸的左邊，為減區(qū)間，

即有x=﹣1時取得最大值，且為5，x=1時取得最小值，且為﹣1．

故值域為[﹣1，5]

【解析】（1）要求二次函數(shù)的解析式，利用直接設(shè)解析式的方法，一定要注意二次項系數(shù)不等于零，在解答的過程中使用系數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，解方程組求的結(jié)果；（2）求得二次函數(shù)g（x）的解析式，求得對稱軸，可得[﹣1，]為減區(qū)間，即可得到最值，進而得到值域．
【考點精析】掌握函數(shù)的值域和二次函數(shù)的性質(zhì)是解答本題的根本，需要知道求函數(shù)值域的方法和求函數(shù)最值的常用方法基本上是相同的．事實上，如果在函數(shù)的值域中存在一個最�。ù螅�數(shù)，這個數(shù)就是函數(shù)的最�。ù螅┲担�因此求函數(shù)的最值與值域，其實質(zhì)是相同的；當時，拋物線開口向上，函數(shù)在上遞減，在上遞增；當時，拋物線開口向下，函數(shù)在上遞增，在上遞減．