Question

5．過雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點F作斜率為-1的直線，且l與此雙曲線的兩條漸近線的交點分別為B，C，若$\overrightarrow{FB}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{BC}$，則此雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{34}}{3}$
• B． 2
• C． $\sqrt{5}$
• D． $\frac{\sqrt{34}}{5}$

Answer 1

分析 設(shè)出過焦點的直線方程，與雙曲線的漸近線方程聯(lián)立把B，C表示出來，再由向量共線的坐標表示，求出b，c與a的關(guān)系，即可求雙曲線的離心率．

解答 解：設(shè)右焦點為F（c，0），
過雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點F作斜率為-1的直線為：y=-x+c，
漸近線的方程是：y=±$\frac{a}$x，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+c}\\{y=\frac{a}x}\end{array}\right.$得：B（$\frac{ac}{a+b}$，$\frac{bc}{a+b}$），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=c-x}\\{y=-\frac{a}x}\end{array}\right.$得，C（$\frac{ac}{a-b}$，-$\frac{bc}{a-b}$），
所以$\overrightarrow{FB}$=（$\frac{ac}{a+b}$-c，$\frac{bc}{a+b}$）=（$\frac{-bc}{a+b}$，$\frac{bc}{a+b}$），
$\overrightarrow{BC}$=（$\frac{ac}{a-b}$-$\frac{ac}{a+b}$，-$\frac{bc}{a-b}$-$\frac{bc}{a+b}$）=（$\frac{2abc}{{a}^{2}-^{2}}$，-$\frac{2abc}{{a}^{2}-^{2}}$），
又 $\overrightarrow{FB}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{BC}$，即有$\frac{-bc}{a+b}$=$\frac{1}{3}$•$\frac{2abc}{{a}^{2}-^{2}}$，
化簡可得b=$\frac{5}{3}$a，
由a²+b²=c²得，$\frac{34}{9}$a²=c²，
所以e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{34}}{3}$．
故選：A．

點評 本題考查雙曲線的性質(zhì)和應(yīng)用，主要考查離心率的求法，同時考查向量共線的坐標表示，考查運算能力，屬于中檔題．