Question

5．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}{x^2}$+alnx，若對(duì)任意兩個(gè)不等的正實(shí)數(shù)x₁，x₂都有$\frac{{f（x{\;}_1）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}$＞2恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是[1，+∞）．

Answer 1

分析 方法一：由題意可知：當(dāng)x＞0時(shí)，f′（x）＞2恒成立，則a＞2x-2x²，在（0，+∞）上恒成立，即a＞g（x）_max，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍；
方法二：構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）-2x，x＞0，求導(dǎo)，由題意可知f′（x）＞2，（0，+∞）上恒成立，則a＞h（x）_max，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：方法一：對(duì)任意兩個(gè)不等的正實(shí)數(shù)x₁，x₂都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞2恒成立，
則當(dāng)x＞0時(shí)，f′（x）＞2恒成立
f′（x）=x+$\frac{a}{x}$＞2，在（0，+∞）上恒成立，
則a＞2x-x²，在（0，+∞）上恒成立，
設(shè)g（x）=2x-x²，x＞0，
函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為x=1，
則當(dāng)x=1時(shí)，取最大值，最大值為g（x）_max=1，
∴a＞1，
則實(shí)數(shù)a的取值范圍[1，+∞），
故答案為：[1，+∞）．
方法二：設(shè)g（x）=f（x）-2x，x＞0，
求導(dǎo)g′（x）=f′（x）-2，
由$\frac{{f（x{\;}_1）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}$＞2，則g′（x）=f′（x）-2＞0，
則f′（x）＞2，即f′（x）=x+$\frac{a}{x}$≥2，在（0，+∞）上恒成立，
則a≥2x-x²，在（0，+∞）上恒成立，
設(shè)h（x）=2x-x²，x＞0，
函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為x=1，
則當(dāng)x=1時(shí)，取最大值，最大值為h（x）_max=1，
∴a≥1，
則實(shí)數(shù)a的取值范圍[1，+∞），
故答案為：[1，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的意義，利用求函數(shù)的最值，考查二次函數(shù)的性質(zhì)，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．