Question

10．如圖，在平行四邊形ABCD中，AD⊥BD，AD=2，BD=4，點M、N分別為BD、BC的中點，將其沿對角線BD折起成四面體QBCD，使平面QBD⊥平面BCD，P為QC的中點．

（1）求證：PM⊥BD；
（2）求點D到平面QMN的距離．

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明QD⊥平面BCD，得到QD⊥DC，QB⊥BC，證明M是BD的中點．然后證明PM⊥BD．
（Ⅱ）設點D到平面QMN的距離為h，利用等體積法，轉化求解點D到平面QMN的距離．

解答 解：（Ⅰ）∵平面QBD⊥平面BCD，QD⊥BD，
平面QBD∩平面BCD=BD，
∴QD⊥平面BCD，∴QD⊥DC，
同理QB⊥BC，…（3分）
∵P是QC的中點．
∴$DP=BP=\frac{1}{2}QC$，又M是DB的中點
∴PM⊥BD．…（6分）
（Ⅱ）∵QD⊥平面BCD，QD=BC=2，AB=4，M，N，P分別是DB、BC、QC的中點．
∴$QM=2\sqrt{2}，MN=\sqrt{5}，QN=\sqrt{21}$
∴${S_{△QMN}}=\sqrt{6}$
又S_△MND=1，…（9分）
設點D到平面QMN的距離為h
∵${V_{Q-MND}}={V_{D-QMN}}∴\frac{1}{3}•1•2=\frac{1}{3}•\sqrt{6}•h$．
所以點D到平面QMN的距離$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．…（12分）

點評 本題考查的平面距離的求法，等體積法的應用，直線與直線垂直，直線與平面垂直的判斷與性質，考查空間想象能力以及計算能力，轉化思想的應用．