Question

2．（1）已知0＜x₁＜x₂，求證：$\frac{{x}_{1}+1}{{x}_{2}+1}＞\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$；
（2）已知f（x）=lg（x+1）-$\frac{1}{2}$log₃x，求證：f（x）在定義域內是單調遞減函數；
（3）在（2）的條件下，求集合M={n|f（n²-214n-1998）≥0，n∈Z}的子集個數．

Answer 1

分析 （1）使用分析法證明；
（2）設0＜x₁＜x₂，利用（1）的結論和對數函數的性質化簡f（x₁）-f（x₂）判斷其符號，得出結論；
（3）由（2）的結論及f（9）=0列出不等式組，解出n即可得出M中元素的個數．

解答 （1）證明：∵x₂+1＞0，x₂＞0，
欲證：$\frac{{x}_{1}+1}{{x}_{2}+1}＞\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$，
只需證：x₂（x₁+1）＞x₁（x₂+1），
即證：x₁x₂+x₂＞x₁x₂+x₁，
只需證：x₂＞x₁，
顯然x₂＞x₁成立，
∴$\frac{{x}_{1}+1}{{x}_{2}+1}＞\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$．
（2）解：f（x）的定義域為（0，+∞）．
設0＜x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）=lg（x₁+1）-lg（x₂+1）+$\frac{1}{2}$log₃x₂-$\frac{1}{2}$log₃x₁
=lg$\frac{{x}_{1}+1}{{x}_{2}+1}$+$\frac{1}{2}$log₃$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$=lg$\frac{{x}_{1}+1}{{x}_{2}+1}$-log₉$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$．
∵0＜x₁＜x₂，
∴0＜$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$＜$\frac{{x}_{1}+1}{{x}_{2}+1}$＜1，∴l(xiāng)g$\frac{{x}_{1}+1}{{x}_{2}+1}$＞log₉$\frac{{x}_{1}+1}{{x}_{2}+1}$＞log₉ $\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$，
∴f（x₁）-f（x₂）=lg$\frac{{x}_{1}+1}{{x}_{2}+1}$-log₉$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$＞log₉$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$-log₉$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=0．
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在定義域（0，+∞）上是減函數．
（3）解：由（2）知f（x）是定義在（0，+∞）上的減函數，且f（9）=0，
∵f（n²-214n-1998）≥0，
∴0＜n²-214n-1998≤9．
∴13447＜（n-107）²≤13456．
∵115＜$\sqrt{13447}$＜116，$\sqrt{13456}$=116，n∈Z，
∴n-107=116或n-107=-116．
∴集合M有兩個元素．
∴集合M有4個子集．

點評 本題考查了不等式的證明，對數函數的性質，函數單調性的應用，屬于中檔題．