13.如圖,在平面四邊形ABCD中,AD=2,CD=4,∠D=$\frac{2π}{3}$.
(1)求sin∠CAD的值;
(2)若cos∠BAD=-$\frac{\sqrt{7}}{14}$,cos∠CBA=$\frac{{\sqrt{15}}}{6}$,求BC邊的長.

分析 (1)由余弦定理可得AC,再利用正弦定理即可得出.
(2)由∠BAD為四邊形內(nèi)角,可得sin∠BAD>0且sin∠CAD>0,由正余弦的關(guān)系可得sin∠BAD,cos∠CAD=$\sqrt{1-si{n}^{2}∠CAD}$=$\frac{{2\sqrt{7}}}{7}$,再由正弦的和差角公式可得:sin∠BAC=sin(∠BAD-∠CAD).再由△ABC的正弦定理可得BC.

解答 解:(1)在△DAC中,由余弦定理可得AC2=AD2+CD2-2AC•CD•cos∠D=28,$AC=2\sqrt{7}$.
由正弦定理得:sin∠CAD═$\frac{\sqrt{21}}{7}$.
(2)∵∠BAD為四邊形內(nèi)角,∴sin∠BAD>0且sin∠CAD>0,
由正余弦的關(guān)系可得sin∠BAD=$\sqrt{1-co{s}^{2}∠BAD}$=$\frac{3\sqrt{21}}{14}$,cos∠CAD=$\sqrt{1-{{sin}^2}CAD}$=$\frac{{2\sqrt{7}}}{7}$,
再由正弦的和差角公式可得:
sin∠BAC=sin(∠BAD-∠CAD)
=sin∠BADcos∠CAD-sin∠CADcos∠BAD
=$\frac{3\sqrt{21}}{14}$×$\frac{2\sqrt{7}}{7}$-$\frac{\sqrt{21}}{7}$×$\frac{3\sqrt{21}}{14}$=$\frac{3\sqrt{3}}{7}$+$\frac{\sqrt{3}}{14}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,
=$\frac{3\sqrt{21}}{14}$×$\frac{2\sqrt{7}}{7}$-$\frac{\sqrt{21}}{7}$×$(-\frac{\sqrt{7}}{14})$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$.
再由△ABC的正弦定理可得$\frac{AC}{sin∠CBA}$=$\frac{BC}{sin∠BAC}$⇒BC=$\frac{{2\sqrt{7}}}{{\frac{{\sqrt{21}}}{6}}}×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=6$.

點(diǎn)評 本題考查了正弦定理余弦定理、和差公式,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.

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