18.如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB⊥BC,∠BCA=45°,PA=AD=2,AC=1,DC=$\sqrt{5}$.
(1)證明PC⊥AD;
(2)求二面角A-PC-D的余弦值.

分析 (1)由勾股定理得出AD⊥AC,由PA⊥平面ABCD得出PA⊥AD,故AD⊥平面PAC,從而AD⊥PC;
(2)以A為原點建立空間直角坐標(biāo)系,求出兩平面的法向量$\overrightarrow{m}$,$\overrightarrow{n}$,則|cos<$\overrightarrow{m},\overrightarrow{n}$>|為所求.

解答 證明:(1)∵AC=1,AD=2,CD=$\sqrt{5}$,
∴AC2+AD2=DC2,
∴AC⊥AD.
∵PA⊥平面ABCD,AD?平面ABCD,
∴AD⊥PA,
又PA?平面PAC,AC?平面PAC,PA∩AC=A,
∴AD⊥平面PAC,又PC?平面PAC,
∴PC⊥AD.
(2)以A為原點,以AD,AC,AP為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示
則D(2,0,0),C(0,1,0),P(0,0,2),
∴$\overrightarrow{CD}$=(2,-1,0),$\overrightarrow{CP}$=(0,-1,2),
設(shè)平面CDP的法向量為$\overrightarrow{n}$=(x,y,z),則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CD}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CP}=0}\end{array}\right.$,
∴$\left\{\begin{array}{l}{2x-y=0}\\{-y+2z=0}\end{array}\right.$,令x=1得$\overrightarrow{n}$=(1,2,1),
又AD⊥平面APC,∴$\overrightarrow{m}$=(1,0,0)為平面PAC的一個法向量,
∴cos<$\overrightarrow{m},\overrightarrow{n}$>=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{1×\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$.
∴二面角A-PC-D的余弦值為$\frac{\sqrt{6}}{6}$.

點評 本題考查了線面垂直的判定與性質(zhì),空間角的計算與空間向量的應(yīng)用,屬于中檔題.

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