Question

18．已知函數(shù)$f（x）=2sin（{ωx+φ}）（{ω＞0，|φ|＜\frac{π}{2}}）$的兩條相鄰對(duì)稱軸間的距離為$\frac{π}{2}$，把f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位得到函數(shù)g（x）的圖象，且g（x）為偶函數(shù)，則f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（　　）

• A． $[{2kπ+\frac{π}{3}，2kπ+\frac{4π}{3}}]，k∈z$
• B． $[{kπ+\frac{π}{3}，kπ+\frac{4π}{3}}]，k∈z$
• C． $[{2kπ-\frac{π}{6}，2kπ+\frac{π}{3}}]，k∈z$
• D． $[{kπ-\frac{π}{6}，kπ+\frac{π}{3}}]，k∈z$

Answer 1

分析 根據(jù)條件求出函數(shù)的解析式，結(jié)合三角函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可．

解答 解：∵函數(shù)f（x）的兩條相鄰對(duì)稱軸間的距離為$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{T}{2}$=$\frac{π}{2}$，即周期T=$π=\frac{2π}{ω}$，則ω=2，
此時(shí)f（x）=2sin（2x+φ），
把f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位得到函數(shù)g（x）的圖象，
則g（x）=2sin[2（x-$\frac{π}{6}$）+φ]=2sin（2x+φ-$\frac{π}{3}$），
∵g（x）為偶函數(shù)，
∴φ-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$+kπ，
則φ=$\frac{5π}{6}$+kπ，k∈Z，
∵|φ|＜$\frac{π}{2}$，
∴當(dāng)k=-1時(shí)，φ=$\frac{5π}{6}$-π=-$\frac{π}{6}$，
則f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$），
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
得2kπ-$\frac{π}{3}$≤2x≤2kπ+$\frac{2π}{3}$，
即kπ-$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z，
即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{π}{3}$]，k∈Z，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角函數(shù)解析式以及三角函數(shù)單調(diào)性的求解，根據(jù)條件求出ω 和φ的值是解決本題的關(guān)鍵．