Question

19．△ABC中，若a，b，c成等比數列，則B的取值范圍為（0，$\frac{π}{3}$），$\frac{sinA+cosAtanC}{sinB+cosBtanC}$的取值范圍為（$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$）．

Answer 1

分析 根據等比數列的性質得到一個關系式，利用正弦定理化簡得到關于a，b及c的關系式，再利用余弦定理，基本不等式，即可確定B的取值范圍．
把要求的式子整理，首先切化弦，通分，逆用兩角和的正弦公式，根據三角形內角和之間的關系，最后角化邊，得到要求的范圍既是公比的范圍，用公比表示出三條邊，根據兩邊之和大于第三邊，得到不等式組，得到結果．

解答 解：∵a，b，c成等比數列，
∴b²=ac，
∴cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-ac}{2ac}$≥$\frac{2ac-ac}{2ac}$=$\frac{1}{2}$．
∵B∈（0，π）
∴B∈（0，$\frac{π}{3}$]．
設三邊的公比是q，三邊為a，aq，aq²，
原式=$\frac{sinAcosC+cosAsinC}{sinBcosC+cosBsinC}$=$\frac{sin（A+C）}{sin（B+C）}$=$\frac{sinB}{sinA}$=$\frac{a}$=q
∵aq+aq²＞a，①
a+aq＞aq²②
a+aq²＞aq，③
解三個不等式可得q＞$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，0＜q＜$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，
綜上有$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$＜q＜$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，
故答案為：（0，$\frac{π}{3}$）；（$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$）．

點評 本題考查等比數列的性質，考查正弦、余弦定理的運用，考查學生的計算能力，難度較大，綜合性較強．