Question

8．已知函數f（x）=lnx，g（x）=$\frac{1}{2}$ax²+2x．
（1）若曲線y=f（x）-g（x）在x=1與x=$\frac{1}{2}$處的切線相互平行，求a的值即切線斜率；
（2）若函數y=f（x）-g（x）在區(qū)間（$\frac{1}{3}$，1）上單調遞減，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）把f（x），g（x）代入y=f（x）-g（x），求出導函數，再由在x=1與x=$\frac{1}{2}$時的導數值相等求得a的值，并進一步求得切線的斜率；
（2）由題意可得，函數y=f（x）-g（x）在區(qū)間（$\frac{1}{3}$，1）上的導函數小于0恒成立，分離參數a，再由導數求得函數h（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}-\frac{2}{x}$在區(qū)間（$\frac{1}{3}$，1）上的范圍得答案．

解答 解：（1）由f（x）=lnx，g（x）=$\frac{1}{2}$ax²+2x，得y=lnx-$\frac{1}{2}$ax²-2x，
∴y′=$\frac{1}{x}-ax-2$，
則y′|_x=1=-a-1，$y′{|}_{x=\frac{1}{2}}=-\frac{a}{2}$，
由題意，$-a-1=-\frac{a}{2}$，解得a=-2．
∴k=1；
（2）函數y=f（x）-g（x）=lnx-$\frac{1}{2}$ax²-2x在區(qū)間（$\frac{1}{3}$，1）上單調遞減，
則y′=$\frac{1}{x}-ax-2$在區(qū)間（$\frac{1}{3}$，1）上小于0恒成立，
即$\frac{1}{x}-ax-2$＜0，分離參數a，得a＞$\frac{1}{{x}^{2}}-\frac{2}{x}$．
令h（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}-\frac{2}{x}$，則h′（x）=$\frac{2（x-1）}{{x}^{3}}$，
當x∈（$\frac{1}{3}$，1）時，h′（x）＜0，
∴h（x）在（$\frac{1}{3}$，1）上為減函數，
則h（x）＜h（$\frac{1}{3}$）=3．
∴a≥3．

點評 本題考查利用導數研究過曲線上某點處的切線方程，考查了利用導數研究函數的單調性，訓練了分離參數法求字母的取值范圍，是中檔題．