Question

4．已知函數(shù)f（x）=xlnx．
（1）求函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=f（x）-2（x-1），求函數(shù)g（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值．（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．

Answer 1

分析 （1）先求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的極值的關(guān)系即可求出極值點(diǎn)；
（2）先求導(dǎo)，再判斷g（x）在[1，e]上的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性即可求出最值．

解答 解：（1）f′（x）=lnx+1，x＞0，由f′（x）=0，得x=$\frac{1}{e}$，
所以f（x）在區(qū)間（0，$\frac{1}{e}$）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（$\frac{1}{e}$，+∞）上單調(diào)遞增．
所以，x=$\frac{1}{e}$是函數(shù)f（x0的極小值點(diǎn)，極大值點(diǎn)不存在．
（2）g（x）=f（x）-2（x-1）=xlnx-2x+1  則g′（x）=lnx-1，
由g′（x）=0，得x=e，g（x）在[1，e]上單調(diào)遞減，
所以g（x）的最小值為g（e）=2-e．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的極值和最值的關(guān)系，以及考查了運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．