Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，直線l：，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線．

（Ⅰ）求曲線C被直線l截得的弦長(zhǎng)；

（Ⅱ）與直線l垂直的直線EF與曲線C相切于點(diǎn)Q，求點(diǎn)Q的直角坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）或．

【解析】

（Ⅰ）首先把參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換，進(jìn)一步利用點(diǎn)到直線的距離公式和勾股定理的應(yīng)用求出弦長(zhǎng)．

（Ⅱ）利用直線垂直的充要條件求出圓的切線方程，進(jìn)一步利用直線和曲線的位置關(guān)系求出切點(diǎn)的直角坐標(biāo)．

解：（Ⅰ）曲線轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為．

直線l：，轉(zhuǎn)換為，

所以圓心到直線的距離，

所以曲線C被直線l截得的弦長(zhǎng)為．

（Ⅱ）與直線l垂直的直線設(shè)為：，

由于直線EF與曲線C相切，

所以圓心到直線的距離，

解得或，

所以直線EF的方程為或．

所以設(shè)切點(diǎn)，

故解得，

或，解得，

即切點(diǎn)坐標(biāo)為或．