Question

4．已知定義域為R的函f（x）=$\frac{-{2}^{x}+a}{{2}^{x}+1}$是奇函敷．
（1）求a的值；
（2）判斷并證明函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（3）設m為常數(shù)，且m＞0，若對任意的t∈[1，2]，不等式f（-m+2t）+f（-mt²+1）≥0恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由f（x）是R上的奇函數(shù)，得f（0）=0，代入f（x）可得a的值；
（2）由f（x）的解析式，判斷出f（x）是定義域上的減函數(shù)；
（3）問題轉(zhuǎn)化為m≥$\frac{2t+1}{{t}^{2}+1}$在t∈[1，2]恒成立；令h（t）=$\frac{2t+1}{{t}^{2}+1}$，t∈[1，2]，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出m的范圍即可．

解答 解：（1）∵f（x）是R上的奇函數(shù)，
∴f（0）=$\frac{{-2}^{0}+a}{{2}^{0}+1}$=0，解得：a=1；
（2）由（1）得：f（x）=$\frac{1{-2}^{x}}{1{+2}^{x}}$=-1+$\frac{2}{{2}^{x}+1}$，
顯然$\frac{2}{{2}^{x}+1}$隨著x的增大而減小，
故f（x）在R單調(diào)遞減；
（3）∵f（-m+2t）+f（-mt²+1）≥0恒成立，m＞0，t∈[1，2]，
∴f（-mt²+1）≥-f（-m+2t）；
∵f（x）是奇函數(shù)，∴-f（-m+2t）=f（m-2t），
∴f（-mt²+1）≥f（m-2t），
又∵f（x）是減函數(shù)，∴-mt²+1≤m-2t，
即mt²-2t+m-1≥0恒成立，m＞0，t∈[1，2]，
∴m≥$\frac{2t+1}{{t}^{2}+1}$在t∈[1，2]恒成立；
令h（t）=$\frac{2t+1}{{t}^{2}+1}$，t∈[1，2]，
∴h′（t）=$\frac{-{2t}^{2}-2t+2}{{{（t}^{2}+1）}^{2}}$，h″（t）=-4t-2＜0，
∴h′（t）在[1，2]遞減，h′（t）_max=h′（1）=-$\frac{1}{2}$＜0，
∴h（t）在[1，2]遞減，h（t）_max=h（1）=$\frac{3}{2}$
∴m的取值范圍是{m|m≥$\frac{3}{2}$}．

點評 本題考查了函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的性質(zhì)和應用，以及不等式恒成立問題，是中檔題．