Question

12．如圖，某廣場中間有一塊邊長為2百米的菱形狀綠化區(qū)ABCD，其中BMN是半徑為1百米的扇形，∠ABC=$\frac{2π}{3}$．管理部門欲在該地從M到D修建小路：在$\widehat{MN}$上選一點P（異于M、N兩點），過點P修建與BC平行的小路PQ．
（1）若∠PBC=$\frac{π}{3}$，求PQ的長度；
（2）當點P選擇在何處時，才能使得修建的小路$\widehat{MP}$與PQ及QD的總長最��？并說明理由．

Answer 1

分析 （1）作出輔助線，根據梯形的性質求出PQ的長即可；
（2）設∠PBP₁=θ，求出PQ的長，得到總路徑長f（θ）的表達式，通過求導得到函數(shù)的單調性，從而求出去最小值時θ的值，即P點的位置即可．

解答 解．（1）如圖示：
，
連接BP，過P作PP₁⊥BC，垂足為P₁，過Q作QQ₁⊥BC垂足為Q₁，
在Rt△PBP₁中，$P{P_1}=Q{Q_1}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}，B{P_1}=C{Q_1}=\frac{1}{2}$，PQ=1；
（2）設∠PBP₁=θ，$（{0＜θ＜\frac{{2{π}}}{3}}）$，
∴$PQ=2-cosθ-\frac{{\sqrt{3}}}{3}sinθ$，
在Rt△QBQ₁中，$DQ=2-\frac{{2\sqrt{3}}}{3}sinθ$，
∴總路徑長f（θ）=$\frac{2π}{3}$-θ+4-cosθ-$\sqrt{3}$sinθ，（0＜θ＜$\frac{2π}{3}$），
f′（θ）=sinθ-$\sqrt{3}$cosθ-1=2sin（θ-$\frac{π}{3}$）-1，
令f'（θ）=0，$θ=\frac{π}{2}$，
當$0＜θ＜\frac{π}{2}$ 時，f'（θ）＜0，
當$\frac{π}{2}＜θ＜\frac{{2{π}}}{3}$ 時，f'（θ）＞0，
所以當$θ=\frac{π}{2}$時，總路徑最短．
答：當BP⊥BC時，總路徑最短．

點評 本題考查了數(shù)形結合思想，考查三角函數(shù)問題以及導數(shù)的應用，是一道中檔題．