Question

3．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n=n²，
（1）求該數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）已知數(shù)列{b_n}滿足b_n=$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）由S_n=n²，可得當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2n-1，檢驗(yàn)n=1時(shí)的情況，即可求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）由（1）知已a(bǔ)_n=2n-1，利用裂項(xiàng)法可得b_n=$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），從而可求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答 解：（1）∵S_n=n²，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1，
又當(dāng)n=1時(shí)，a₁=1適合上式，
∴a_n=2n-1．
（2）∵b_n=$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$）+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+…+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{n}{2n+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的求和，考查數(shù)列遞推關(guān)系式的應(yīng)用，突出考查裂項(xiàng)法求和的運(yùn)用，屬于中檔題．