7.如圖,在2×4的方格紙中,若$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow$是起點(diǎn)和終點(diǎn)均在格點(diǎn)的向量,則向量2$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$與$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$的夾角余弦值是$-\frac{{\sqrt{10}}}{10}$.

分析 建立直角坐標(biāo)系,求得向量$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow$的坐標(biāo),向量2$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$與$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$的坐標(biāo),以及數(shù)量積和模,再由夾角公式計(jì)算即可得到所求值.

解答 解:建立坐標(biāo)系,如圖:
可得$\overrightarrow{a}$=(2,1)-(0,2)=(2,-1),$\overrightarrow$=(4,2)-(1,0)=(3,2),
則2$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$=(4,-2)+(3,2)=(7,0),
$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$=(2,-1)-(3,2)=(-1,-3),
(2$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$)•($\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$)=7×(-1)+0×(-3)=-7,
|2$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$|=7,|$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$|=$\sqrt{1+9}$=$\sqrt{10}$,
可得向量2$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$與$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$的夾角余弦值cos<2$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$,$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$>=$\frac{(2\overrightarrow{a}+\overrightarrow)•(\overrightarrow{a}-\overrightarrow)}{|2\overrightarrow{a}+\overrightarrow|•|\overrightarrow{a}-\overrightarrow|}$=$\frac{-7}{7\sqrt{10}}$=-$\frac{\sqrt{10}}{10}$.
故答案為:$-\frac{{\sqrt{10}}}{10}$.

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算,注意運(yùn)用坐標(biāo)法,考查運(yùn)算能力,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(I)當(dāng)a=4,λ=1時(shí),判斷函數(shù)f(x)在(3,4)上的單調(diào)性,并說明理由;
(II)記A1={(x,y)|x>0,y>0},A2={(x,y)|x<0,y>0},A3={(x,y)|x<0,y<0},A4={(x,y)|x>0,y<0}.M={(x,y)|y=f(x)},若對(duì)任意的λ∈(1,3)恒有M∩Ai≠∅(i=1,2,3,4)求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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