Question

已知數列的前項和為，.

（1）求數列的通項公式；

（2）設，＝，記數列的前項和.若對， 恒成立，求實數的取值范圍．

 

Answer 1

（1）；（2）．

【解析】

試題分析：（1）關于項與的遞推式，往往有兩種解決方法，其一是轉化為與的遞推式，先求再求；其二是轉化為與的遞推式再求，其中是 轉化橋梁，本題將已知條件轉化為，得數列為以2為公比的等比數列，進而求數列的通項公式；（2）首先求得，通過分析其結構，利用裂項相消法求和得，帶入中轉化為恒成立問題求解．

試題解析：（1）當時，，當時，

即：，數列為以2為公比的等比數列

（2）由bn＝log2an得bn＝log22n＝n，則cn＝＝＝－，Tn＝1－＋－＋ ＋－＝1－＝.

∵≤k（n＋4），∴k≥＝.

∵n＋＋5≥2＋5＝9，當且僅當n＝，即n＝2時等號成立，

∴≤，因此k≥，故實數k的取值范圍為

考點：1、等比數列通項公式；2、裂項相消法求和；3、基本不等式.