6.已知數(shù)列{an}各項均為正數(shù),且a1=1,an+12-an+1=an2+an
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)設(shè)bn=$\frac{1}{a_n^2}$,數(shù)列{bn}的前n項和為Tn,求證:Tn<2.

分析 (1)由已知可得:(an+1+an)(an+1-an-1)=0,{an}各項均為正數(shù),可得an+1-an=1,利用等差數(shù)列的通項公式即可得出.
(2)由(1)知 ${b_n}=\frac{1}{n^2}$,當n≥2時 $\frac{1}{n^2}<\frac{1}{n(n-1)}=\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$,利用“裂項求和”方法、數(shù)列的單調(diào)性即可證明.

解答 (1)解:由已知得:(an+1+an)(an+1-an-1)=0,
∵{an}各項均為正數(shù),∴an+1-an=1,
∴數(shù)列{an}是首項為1,公差為1的等差數(shù)列,
∴an=n.
(2)證明:由(1)知 ${b_n}=\frac{1}{n^2}$,
當n≥2時  $\frac{1}{n^2}<\frac{1}{n(n-1)}=\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$,
∴${T_n}=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+…+\frac{1}{n^2}$$≤1+(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+…+(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n})=2-\frac{1}{n}<2$.

點評 本題考查了遞推關(guān)系、“裂項求和”、等差數(shù)列的通項公式、數(shù)列的單調(diào)性,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.

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(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
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