Question

10．已知△ABC的外接圓半徑為R，C=60°，則$\frac{a+b}{R}$的取值范圍為$（{\sqrt{3}，2\sqrt{3}}]$．

Answer 1

分析 先由正弦定理和兩角和與差的正弦公式得到$\frac{a+b}{R}$=2$\sqrt{3}$sin（A+30°），再根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求出．

解答 解：在△ABC中，由正弦定理可得：$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}=2R$，
∴a=2RsinA，b=2RsinB，
∴$\frac{a+b}{R}$=2sinA+2sinB=2sinA+2sin（120°-A）
=2（sinA+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosA+$\frac{1}{2}$sinA）=2$\sqrt{3}$（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinA+$\frac{1}{2}$cosA）=2$\sqrt{3}$sin（A+30°），
∵C=60°，
∴0°＜A＜120°，
∴30°＜A+30°＜150°，
∴$\frac{1}{2}$＜sin（A+30°）≤1，
∴$\sqrt{3}$＜2$\sqrt{3}$sin（A+30°）≤2$\sqrt{3}$，則$\frac{a+b}{R}$的取值范圍為$（{\sqrt{3}，2\sqrt{3}}]$．
故答案為：$（{\sqrt{3}，2\sqrt{3}}]$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正弦定理和兩角和差的正弦公式以及誘導(dǎo)公式在解三角形中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．