Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d在O，A點(diǎn)處取到極值，其中O是坐標(biāo)原點(diǎn)，A在曲線y=x²sinx+xcosx，x∈[

π

3

，

2π

3

]上，則曲線y=f（x）的切線的斜率的最大值是（　�。�

• A、

  3π

  4

• B、

  3

  2

• C、

  3 3 π

  4

  +

  3

  4

• D、

  3 3 π

  4

  -

  3

  4

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：由函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d在O，A點(diǎn)處取到極值，其中O是坐標(biāo)原點(diǎn)，得到d=0，f′（0）=0，f′（p）=0，得到c=0，p=-

2b

3a

，f′（x）=3ax²-3apx，再由A在曲線上，運(yùn)用兩角和的正弦，判斷a＜0，b＞0．得到f′（x）≤f′（

p

2

）=

bp

2

=

3

2

（psinp+cosp），再構(gòu)造函數(shù)g（x）=xsinx+cosx，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求出最大值即可判斷．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d在O，A點(diǎn)處取到極值，其中O是坐標(biāo)原點(diǎn)，
∴f（0）=0，即d=0，f（x）=ax³+bx²+cx，f′（x）=3ax²+2bx+c，
f′（0）=0，f′（p）=0，∴c=0，p=-

2b

3a

，f′（x）=3ax²-3apx，
設(shè)A（p，q），p∈[

π

3

，

2π

3

]，q=p²sinp+pcosp=p

p2+1

sin（p+α），tanα=

1

p

＞0，且＜1，
α∈（0，

π

4

），p+α∈（

7π

12

，

11π

12

），即q＞0，f（p）＞f（0），
即f（x）分別在x=0和x=p處取極小值和極大值，則a＜0，b＞0．
∴f′（x）≤f′（

p

2

），
∵q=f（p）=ap³+bp²=p²sinp+pcosp，
∴ap²+bp=

bp

3

=psinp+cosp
即bp=3（psinp+cosp），
∴f′（

p

2

）=

bp

2

=

3

2

（psinp+cosp），p∈[

π

3

，

2π

3

]，
令g（x）=xsinx+cosx，g′（x）=xcosx，g′（x）=0，x=

π

2

，
g（x）在[

π

3

，

π

2

）上遞增，在（

π

2

，

2π

3

）上遞減，故g（x）在x=

π

2

處取極大值，也為最大值，
∴f′（x）≤f′（

p

2

）=

3

2

g（p）≤

3

2

g(

π

2

)=

3

2

(

π

2

sin

π

2

+cos

π

2

)=

3π

4

．
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用：求單調(diào)區(qū)間和求極值、最值，同時(shí)考查構(gòu)造函數(shù)求極值和最值，三角函數(shù)的化簡，考查較強(qiáng)的運(yùn)算能力和推理能力，是一道中檔題．