Question

如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，側(cè)面對(duì)角線AB₁、BC₁上分別有兩點(diǎn)E、F，且B₁E=C₁F．求證：EF∥平面ABCD．

Answer 1

證法一：分別過(guò)E、F作EM⊥AB于點(diǎn)M，F(xiàn)N⊥BC于點(diǎn)N，連接MN．
∵BB₁⊥平面ABCD，
∴BB₁⊥AB，BB₁⊥BC．
∴EM∥BB₁，F(xiàn)N∥BB₁．∴EM∥FN．
又B₁E=C₁F，∴EM=FN．
故四邊形MNFE是平行四邊形．
∴EF∥MN．又MN在平面ABCD中，
∴EF∥平面ABCD．
證法二：過(guò)E作EG∥AB交BB₁于點(diǎn)G，連接GF，則=．
∵B₁E=C₁F，B₁A=C₁B，∴=．
∴FG∥B₁C₁∥BC．
又∵EG∩FG=G，AB∩BC=B，
∴平面EFG∥平面ABCD．而EF在平面EFG中，
∴EF∥平面ABCD．
分析：證法一：根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知：如果不在一個(gè)平面內(nèi)的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，那么直線和這個(gè)平面平行．故只需在平面ABCD中找到與EF平行的直線即可．
證法二：證明一條直線與一個(gè)平面平行，除了可以根據(jù)直線與平面平行的判定定理以外，通常還可以通過(guò)平面與平面平行進(jìn)行轉(zhuǎn)化，比如過(guò)E作EG∥AB交BB₁于點(diǎn)G，連接GF，根據(jù)三角形相似比可知：平面EFG∥平面ABCD．而EF在平面EFG中，故可以證得：EF∥平面ABCD．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了空間中的線面關(guān)系，三角形相似等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力和思維能力．