已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的一個頂點為B(0,4),離心率e=
5
5
,直線l交橢圓于M、N兩點.
(1)若直線l的方程為y=x-4,求弦MN的長;
(2)如果△BMN的重心恰好為橢圓的右焦點F,求直線l方程的一般式.
(1)由已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的一個頂點為B(0,4),
∴b=4,
又∵離心率e=
c
a
=
5
5
,
c2
a2
=
1
5

a2-b2
a2
=
1
5
,解得a2=20,
∴橢圓方程為
x2
20
+
y2
16
=1
;…(3分)
由4x2+5y2=80與y=x-4聯(lián)立,
消去y得9x2-40x=0,
∴x1=0,x2=
40
9

∴所求弦長|MN|=
1+12
|x2-x1|=
40
2
9
;…(6分)
(2)橢圓右焦點F的坐標為(2,0),
設線段MN的中點為Q(x0,y0),
由三角形重心的性質(zhì)知
BF
=2
FQ
,又B(0,4),
∴(2.-4)=2(x0-2,y0),
故得x0=3,y0=-2,
求得Q的坐標為(3,-2);…(9分)
設M(x1,y1),N(x2,y2),則x1+x2=6,y1+y2=-4,
x21
20
+
y21
16
=1,
x22
20
+
y22
16
=1
,…(11分)
以上兩式相減得
(x1+x2)(x1-x2)
20
+
(y1+y2)(y1-y2)
16
=0

kMN=
y1-y2
x1-x2
=-
4
5
x1+x2
y1+y2
=-
4
5
6
-4
=
6
5

故直線MN的方程為y+2=
6
5
(x-3)
,即6x-5y-28=0.…(13分)
練習冊系列答案
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A.(0,
1
6
]
B.(0,
1
3
]
C.(0,
1
2
]
D.(0,1)

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正四面體的四個頂點都在一個球面上,且正四面體的高為4,則球的表面積為( 。
A.16(12-6
3
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2

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棱長為2的正方體的外接球的體積為( 。
A.8B.8πC.4
3
π
D.
8
2
π
3

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在正方體ABCD-A1B1C1D1中,已知AC=2
6
,則這個正方體內(nèi)切球的體積為( 。
A.12πB.9πC.4
3
π
D.4π

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棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1的內(nèi)切球的表面積為( 。
A.
3
B.16πC.4πD.
32π
3

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A.與x有關,與y無關B.與x無關,與y無關
C.與x無關,與y有關D.與x有關,與y有關

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教室內(nèi)有根棍子,無論怎樣放置,地面上總有這樣的直線與棍子所在直線(  )
A.平行B.垂直
C.相交但不垂直D.異面

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