Question

6．已知f（x）=2lnx+$\frac{m}{x+1}$．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與直線x-y+3=0平行，判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）若x≥1時(shí)，f（x）≥1恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，由兩直線平行的條件：斜率相等，可得m的方程，可得m的值，求得f（x）的導(dǎo)數(shù)，即可判斷f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）不等式f（x）≥1即$2lnx+\frac{m}{x+1}≥1$，由x的范圍，運(yùn)用參數(shù)分離，求得右邊函數(shù)的最大值，即可得到所求m的范圍．

解答 解：（Ⅰ）f（x）定義域是（0，+∞），導(dǎo)數(shù)$f'（x）=\frac{2}{x}-\frac{m}{{{{（x+1）}^2}}}$，
依題意f'（1）=1，即2-$\frac{m}{4}$=1，解得m=4，
則$f'（x）=\frac{{2（{x^2}+1）}}{{x{{（x+1）}^2}}}＞0$，所以函數(shù)f（x）在（0，+∞）單調(diào)增加；…（6分）
（Ⅱ）不等式f（x）≥1即$2lnx+\frac{m}{x+1}≥1$，
因?yàn)閤≥1，所以m≥x+1-2（x+1）lnx，
設(shè)g（x）=x+1-2（x+1）lnx，導(dǎo)數(shù)$g'（x）=-\frac{2xlnx+x+2}{x}$，
當(dāng)x≥1時(shí)，g'（x）≤0，g（x）在[1，+∞）單調(diào)遞減，
所以當(dāng)x≥1時(shí)，g（x）≤g（1）=2，因此m≥2，
實(shí)數(shù)m的取值范圍是[2，+∞）．…（12分）

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間，考查函數(shù)的單調(diào)性及應(yīng)用，以及參數(shù)分離和恒成立問題的解法，屬于中檔題．