Question

2．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-x，x≤0}\\{-{x}^{2}+2x，x＞0}\end{array}\right.$，若方程f²（x）+bf（x）+$\frac{1}{4}$=0有六個(gè)相異實(shí)根，則實(shí)數(shù)b的取值范圍（　�。�

• A． （-2，0）
• B． （-2，-1）
• C． （-$\frac{5}{4}$，0）
• D． （-$\frac{5}{4}$，-1）

Answer 1

分析 先將函數(shù)進(jìn)行換元，轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)問(wèn)題．同時(shí)在結(jié)合函數(shù)f（x）的圖象，確定b的取值范圍．

解答 解：令t=f（x），則原函數(shù)方程等價(jià)為t²+bt+$\frac{1}{4}$=0．
作出函數(shù)f（x）的圖象如圖1：
圖象可知當(dāng)由0＜t＜1時(shí)，函數(shù)t=f（x）有3個(gè)交點(diǎn)．
所以要使f²（x）+bf（x）+$\frac{1}{4}$=0有六個(gè)相異實(shí)根，
則等價(jià)為有兩個(gè)根t₁，t₂，
且0＜t₁＜1，0＜t₂＜1．
令g（t）=t²+bt+$\frac{1}{4}$，
則由根的分布（如圖2）可得$\left\{\begin{array}{l}{△＞0}\\{f（0）=\frac{1}{4}＞0}\\{f（1）=1+b+\frac{1}{4}＞0}\\{0＜-\frac{2}＜1}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{^{2}-1＞0}\\{b＞-\frac{5}{4}}\\{-2＜b＜0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{b＞1或b＜-1}\\{b＞-\frac{5}{4}}\\{-2＜b＜0}\end{array}\right.$，
解得-$\frac{5}{4}$＜b＜-1，
則實(shí)數(shù)b的取值范圍是（-$\frac{5}{4}$，-1）．

故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查復(fù)合函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題，以及二次函數(shù)根的分布，解決本題的關(guān)鍵是利用換元，將復(fù)合函數(shù)轉(zhuǎn)化為我們熟悉的二次函數(shù)，換元是解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵．