Question

已知函數(shù)f（x）=e^x-bx，g（x）=|f（x）|，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．
（Ⅰ）當(dāng)b=1時(shí)，求函數(shù)y=f（x）的最小值．
（Ⅱ）若函數(shù)y=f（x）有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．
（Ⅲ）當(dāng)b＞0時(shí)，判斷函數(shù)y=g（x）在區(qū)間（0，2）上是否存在極大值，若存在，求出極大值及相應(yīng)實(shí)數(shù)b的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,函數(shù)零點(diǎn)的判定定理,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）先求出函數(shù)的導(dǎo)涵數(shù)f'（x），在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式f'（x）＞0和f'（x）＜0，即可求出函數(shù)最小值；
（Ⅱ）先將原問題轉(zhuǎn)化為y=e^x與y=bx的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)的問題，再對(duì)b進(jìn)行分類討論：當(dāng)b＜0時(shí)，作出圖象，發(fā)現(xiàn)滿足要求；當(dāng)b≥0時(shí)，作出圖象，發(fā)現(xiàn)當(dāng)且僅當(dāng)y=e^x與y=bx相切時(shí)有一個(gè)交點(diǎn)．從而求出實(shí)數(shù)b的取值范圍；
（Ⅲ）求出f'（x）=e^x-b，令f'（x）=e^x-b=0，則x=lnb，不等式f'（x）＞0和f'（x）＜0，即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，然后根據(jù)極值的定義進(jìn)行判定極值即可．

解答： 解：（I）當(dāng)b=1時(shí)f（x）=e^x-x，
∴f'（x）=e^x-1，
令f'（x）=0，得x=0，
當(dāng)f'（x）＞0，即x＞0，
當(dāng)f'（x）＜0，即x＜0
∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，0），單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞）；
故當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)有極小值，也是最小值，最小值為f（0）=1，
（Ⅱ）轉(zhuǎn)化為y=e^x與y=bx的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)
當(dāng)b＜0時(shí)，作出圖象，發(fā)現(xiàn)滿足要求；
當(dāng)b≥0時(shí)，作出圖象，
發(fā)現(xiàn)當(dāng)且僅當(dāng)y=e^x與y=bx相切時(shí)有一個(gè)交點(diǎn)
設(shè)切點(diǎn)為（x，y），則

y=ex y=bx ex=b

，解得

x=1 b=e y=e

所以，b＜0或b=e，
（Ⅲ）f（x）=e^x-bx，f'（x）=e^x-b，令f'（x）=e^x-b=0，則x=lnb，
當(dāng)x∈（-∞，lnb）時(shí)，f'（x）=e^x-b＜0，所以f（x）遞減；
當(dāng)x∈（lnb，+∞）時(shí)，f'（x）=e^x-b＞0，所以f（x）遞增；
所以，f（x）的最小值為f（lnb）=b-blnb=b（1-lnb）；
當(dāng)0＜b≤e時(shí)，f（lnb）=b（1-lnb）≥0，所以f（x）=e^x-bx≥0，
∴g（x）=|f（x）|=f（x）=e^x-bx，
此時(shí)，|f（x）|在（-∞，+∞）上無(wú)極大值，所以在（0，2）上無(wú)極大值；
當(dāng)b＞e時(shí)，f（lnb）=b（1-lnb）＜0，
∴g(x)=

f(x)，f(x)≥0 -f(x)，f(x)＜0

，
可得：
若b≥e²，則lnb≥2，此時(shí)|f（x）|在（0，2）上無(wú)極大值；
若b＜e²，則lnb＜2，此時(shí)|f（x）|在（0，2）上有極大值|f（lnb）|=b（lnb-1）；
綜上得：
當(dāng)0＜b≤e或b≥e²時(shí)，|f（x）|在（0，2）上無(wú)極大值；
當(dāng)e＜b＜e²時(shí)，|f（x）|在（0，2）上有極大值|f（lnb）|=b（lnb-1）

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的極值，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，難度較大