Question

1．已知函數(shù)f（x）=x³-3ax（a∈R）．
（Ⅰ）求曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程； 
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，2）上僅有一個極值點，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）若a＞1，且方程f（x）=a-x在區(qū)間[-a，0]上有兩個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)a的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導數(shù)，計算f（0），f′（0），從而求出切線方程即可；
（Ⅱ）求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調區(qū)間，得到關于a的不等式組，求出a的范圍即可；
（Ⅲ）令h（x）=f（x）+x-a=x³+（1-3a）x-a，等價于函數(shù)h（x）在[-a，0]上恰有兩個零點，根據函數(shù)的單調性求出a的最小值即可．

解答 解：（Ⅰ）因為f'（x）=3（x²-a），所以f'（0）=-3a，
因為f（0）=0，
所以曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程為y=-3ax．…（4分）
（Ⅱ）因為f'（x）=3（x²-a），所以，
當a≤0時，f'（x）≥0在R上恒成立，
所以f（x）在R上單調遞增，f（x）沒有極值點，不符合題意；…（5分）
當a＞0時，令f'（x）=0得$x=±\sqrt{a}$，
當x變化時，f'（x）與f（x）的變化情況如下表所示：

x	（-∞，$-\sqrt{a}$）	$-\sqrt{a}$	（$-\sqrt{a}$，$\sqrt{a}$）	$\sqrt{a}$	（$\sqrt{a}$，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

因為函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，2）僅有一個極值點，
所以$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{a}＜2\\-\sqrt{a}≤-1.\end{array}\right.$所以1≤a＜4．…（9分）
（Ⅲ） 令h（x）=f（x）+x-a=x³+（1-3a）x-a，
方程f（x）=a-x在[-a，0]上恰有兩個實數(shù)根等價于函數(shù)h（x）在[-a，0]上恰有兩個零點．h'（x）=3x²+（1-3a），
因為a＞1，令h'（x）=0，得$x=±\sqrt{a-\frac{1}{3}}$，…（10分）
所以$\left\{\begin{array}{l}h（0）≤0\\ h（-a）≤0\\ h（-\sqrt{a-\frac{1}{3}}）＞0.\end{array}\right.$所以  $\left\{\begin{array}{l}a≥0\\-{a^3}+3{a^2}-2a≤0\\{（-\sqrt{a-\frac{1}{3}}）^3}-（1-3a）\sqrt{a-\frac{1}{3}}-a＞0.\end{array}\right.$，
所以$\left\{\begin{array}{l}a≥0\\ a≤1或a≥2\\（2a-\frac{2}{3}）\sqrt{a-\frac{1}{3}}-a＞0.\end{array}\right.$…（12分）
因為a＞1，所以$（2a-\frac{2}{3}）\sqrt{a-\frac{1}{3}}-a＞0$恒成立．
所以a≥2，所以實數(shù)a的最小值為2．…（14分）．

點評 本題考查了切線方程問題，考查函數(shù)的單調性、最值問題，考查導數(shù)的應用，是一道綜合題．