Question

過點(1，

1

2

)作圓x²+y²=1的切線，切點分別為A，B．若直線AB恰好經(jīng)過橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的焦點和上頂點，則橢圓方程為

x2

5

+

y2

4

=1

．

Answer 1

分析：方法一：利用圓的方程相減即可得出兩圓相交的交點所在的直線的方程，進而得出橢圓的焦點、頂點，再利用橢圓的性質(zhì)即可得出方程．
方法二：易知直線x=1是圓的一條切線，即可得出切點為A（1，0）；設(shè)另一條切線的斜率為k，則切線方程為y-

1

2

=k(x-1)，利用切線的性質(zhì)和點到直線的距離公式可得圓心（0，0）到切線的距離d=r，可得斜率k，進而得到切線方程和切點．

解答：解：方法一：設(shè)點P(1，

1

2

)，O（0，0）．則以線段OP為直徑的圓的方程為：(x-

1

2

)2+(y-

1

4

)2=

5

16

．與方程x²+y²=1相減得x+

1

2

y=1．
令x=0，得y=2；令y=0，得x=1．
∴焦點為（1，0），上頂點為（0，2）．
∴c=1，b=2．a(chǎn)²=b²+c²=5．
∴橢圓的方程為

x2

5

+

y2

4

=1．
方法二：易知直線x=1是圓的一條切線，切點為A（1，0）；
設(shè)另一條切線的斜率為k，則切線方程為y-

1

2

=k(x-1)，化為2kx-2y+1-2k=0，則

|1-2k|

4k2+4

=1，解得k=-

3

4

，得切線方程為3x+4y-5=0．
聯(lián)立

3x+4y-5=0 x2+y2=1

解得切點B(

3

5

，

4

5

)．
∴直線AB的方程為：2x+y-2=0．以下同方法一．

點評：熟練掌握橢圓的標準方程及其性質(zhì)、兩圓的根軸方程的求法、直線與圓相切的性質(zhì)、點到直線的距離公式等是解題的關(guān)鍵．