Question

2．已知拋物線E：y²=4x的焦點(diǎn)為F，圓C：x²+y²-2ax+a²-4=0，直線l與拋物線E交于點(diǎn)A、B兩點(diǎn)，與圓C切于點(diǎn)P．
（1）當(dāng)切點(diǎn)P的坐標(biāo)為（$\frac{4}{5}$，$\frac{8}{5}$）時(shí)，求直線l及圓C的方程；
（2）當(dāng)a=2時(shí)，證明：|FA|+|FB|-|AB|是定值，并求出該定值．

Answer 1

分析 （1）將P代入圓方程，即可求得a的值，求得圓心，根據(jù)直線的斜率公式求得CP的斜率k，則直線l的方程斜率為-$\frac{1}{k}$，利用直線的點(diǎn)斜式方程，即可求得l的方程；
（2）將當(dāng)l垂直與x軸時(shí)，求得A和B點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)之間的斜率公式，即可求得|FA|+|FB|-|AB|的值；當(dāng)l不垂直于x軸時(shí)，由直線l與圓C相切，求得4kb+b²=4，將直線l代入拋物線方程．利用韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式求得|AB|，利用拋物線的定義，丨FA丨+丨FB丨=x₁+x₂+p，即可求得|FA|+|FB|-|AB|是定值．

解答 解：（1）由圓（x-a）²+y²=4，則圓心（a，0），半徑為2，
將P（$\frac{4}{5}$，$\frac{8}{5}$）代入圓方程，解得：a=2，或a=-$\frac{2}{5}$，
∴圓的方程（x-2）²+y²=4，或（x+$\frac{2}{5}$）²+y²=4，
當(dāng)a=2，圓心C（2，0）則直線CP的斜率k=$\frac{\frac{8}{5}-0}{\frac{4}{5}-2}$=-$\frac{4}{3}$，
由直線l的斜率為-$\frac{1}{k}$=$\frac{3}{4}$，則直線l的方程y-$\frac{8}{5}$=$\frac{3}{4}$（x-$\frac{4}{5}$），整理得：4y-3x-4=0；
當(dāng)a=-$\frac{2}{5}$圓心C（-$\frac{2}{5}$，0）則直線CP的斜率k=$\frac{\frac{8}{5}-0}{\frac{4}{5}-（-\frac{2}{5}）}$=$\frac{4}{3}$，
由直線l的斜率為-$\frac{1}{k}$=-$\frac{3}{4}$，則直線l的方程y-$\frac{8}{5}$=-$\frac{3}{4}$（x-$\frac{4}{5}$），整理得：20y+15x-44=0，
綜上可知：直線l方程：4y-3x-4=0，圓C的方程（x-2）²+y²=4或
直線l方程：20y+15x-44=0，圓C的方程（x+$\frac{2}{5}$）²+y²=4；
（2）當(dāng)a=2時(shí)，圓C的方程（x-2）²+y²=4，
當(dāng)l垂直與x軸時(shí)，則x=4，A（4，4），B（4，-4），
∴丨FA丨=丨FB丨=5，丨AB丨=8，
∴|FA|+|FB|-|AB|=2；
當(dāng)l不垂直于x軸時(shí)，設(shè)直線l：y=kx+b（k≠0），
直線l與圓C相切，則$\frac{丨2k-0+b丨}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=2，則4kb+b²=4，
∴b≠0，kb＜0，
則$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，整理得：k²x²+（2kb-4）x+b²=0，
由△=（2kb-4）2-4k²b²=-16kb+4（4kb+b²）=4b²＞0，
由x₁+x₂=-$\frac{2kb-4}{{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{^{2}}{{k}^{2}}$，
丨AB丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{-\frac{2kb-4}{{k}^{2}}）}^{2}-4×\frac{^{2}}{{k}^{2}}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{\sqrt{-16kb+16}}{{k}^{2}}$，
=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{\sqrt{4^{2}}}{{k}^{2}}$，
=$\frac{\sqrt{4（^{2}+{k}^{2}^{2}）}}{{k}^{2}}$，
=$\frac{\sqrt{4（4-4kb+{k}^{2}^{2}）}}{{k}^{2}}$，
=$\frac{4-2kb}{{k}^{2}}$，
由拋物線的性質(zhì)可知：丨FA丨+丨FB丨=x₁+x₂+p=x₁+x₂+2，
∴|FA|+|FB|=-$\frac{2kb-4}{{k}^{2}}$+2，
∴|FA|+|FB|-|AB|=-$\frac{2kb-4}{{k}^{2}}$+2-$\frac{4-2kb}{{k}^{2}}$=2，
∴|FA|+|FB|-|AB|是定值，定值為2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理，弦長(zhǎng)公式及拋物線的焦點(diǎn)弦公式，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．