Question

19．如圖，正方形BCDE的邊長為a，已知AB=$\sqrt{3}$BC，將直角△ABE沿BE邊折起，A點在平面BCDE上的射影為D點，則對翻折后的幾何體中有如下描述：
①AB與DE所成角的正切值是$\sqrt{2}$；
②三棱錐B-ACE的體積是$\frac{1}{6}$a³；
③直線BA與平面ADE所成角的正弦值為$\frac{1}{3}$．
④平面EAB⊥平面ADE．
其中錯誤敘述的是③．

Answer 1

分析 如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系．利用向量與三棱錐的有關(guān)知識計算即可得出．

解答 解：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系．
D（0，0，0），C（0，-a，0），B（-a，-a，0），E（-a，0，0），A（0，0，a）．
下描述：
①$\overrightarrow{AB}$=（-a，-a，-a），$\overrightarrow{DE}$=（-a，0，0）．cos$＜\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{DE}＞$=$\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{DE}}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{DE}|}$=$\frac{{a}^{2}}{\sqrt{3}a•a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴tan$＜\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{DE}＞$=$\sqrt{2}$，因此AB與DE所成角的正切值是$\sqrt{2}$正確．
②三棱錐B-ACE的體積=V_A-BCE=$\frac{1}{3}×{S}_{△BCE}$×AD=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×{a}^{2}•a$=$\frac{1}{6}$a³，正確．
③取平面ADE的法向量$\overrightarrow{n}$=（0，1，0），$\overrightarrow{BA}$=（a，a，a），
設(shè)直線BA與平面ADE所成角為θ，則sinθ=$|cos＜\overrightarrow{BA}，\overrightarrow{n}＞|$=$\frac{|\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{BA}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{a}{\sqrt{3}a×1}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，因此不正確．
④∵AD⊥平面BCDE，∴AD⊥BE，又BE⊥DE，BE∩DE=E，∴BE⊥平面ADE，BE?ABE，∴平面EAB⊥平面ADE，因此正確．
其中錯誤敘述的是 ③．
故答案為：③．

點評 本題空間線面位置關(guān)系及其計算，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．