分析 (1)構(gòu)造函數(shù)F(x)=xlnx-xe-x,判斷F(x)的單調(diào)性,利用零點定理證明;
(2)構(gòu)造函數(shù)h(x)=$\left\{\begin{array}{l}{xlnx,1<x<{x}_{0}}\\{x{e}^{-x},x≥{x}_{0}}\end{array}\right.$,判斷h(x)的單調(diào)性;若方程h(x)=c在區(qū)間(1,+∞)有兩個不相等的實根x1,x2(x1<x2),則必有x1∈(1,x0),x2∈(x0,+∞);
只需證h(x2)<h(2x0-x1),而h(x2)=h(x1),所以只需證h(x1)<h(2x0-x1).
解答 解:(1)證明:F(x)=xlnx-xe-x,F(xiàn)'(x)=lnx+1+(x-1)e-x
顯然當x∈[1,+∞)時,F(xiàn)'(x)>0,故F(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞增;
而F(1)=-$\frac{1}{e}$<0,F(xiàn)(2)=ln4-$\frac{2}{{e}^{2}}$>0,所以由零點存在定理知,
必存在唯一x0∈(1,2)⊆(1,+∞)內(nèi)有且僅有一個零點.
(2)由(1)可知g(x0)=f(x0)且x∈(1,x0)時,f(x)<g(x),x∈(x0,+∞)時g(x)<f(x),
因此h(x)=$\left\{\begin{array}{l}{xlnx,1<x<{x}_{0}}\\{x{e}^{-x},x≥{x}_{0}}\end{array}\right.$
其中x0 滿足${x}_{0}ln{x}_{0}={x}_{0}{e}^{-{x}_{0}}$,即lnx0=${e}^{-{x}_{0}}$,x0∈(1,2)
而x∈(1,x0)時,h'(x)=lnx+1>0;
x∈(x0,+∞)時,h'(x)=(1-x)e-x<0;
因此h(x)在(1,x0)上單調(diào)遞增,(x0,+∞)上單調(diào)遞減,
若方程h(x)=c在區(qū)間(1,+∞)有兩個不相等的實根x1,x2(x1<x2),則必有x1∈(1,x0),x2∈(x0,+∞),
所證?x1+x2>2x0?x2>2x0-x1>x0,因為h(x)在(x0,+∞)單調(diào)遞減,
所以只需證h(x2)<h(2x0-x1),而h(x2)=h(x1),所以只需證h(x1)<h(2x0-x1)
即證明:x1lnx1<(2x0-x1)${e}^{-(2{x}_{0}-{x}_{1})}$…?
構(gòu)造函數(shù)φ(x)=xlnx-(2x0-x)${e}^{-(2{x}_{0}-{x}_{1})}$=xlnx+(x-2x0)${e}^{x-2{x}_{0}}$,x∈(1,x0)
下證明x∈(1,x0)時,φ'(x)>0恒成立;
考查函數(shù)u(x)=(x+1)ex,u'(x)=(x+2)ex,所以u(x)在(-∞,-2)上單調(diào)遞減,在(2,+∞)上單調(diào)遞增,
所以一定有u(x-2x0)=(x-2x0+1)${e}^{x-2{x}_{0}}$≥u(-2)=-$\frac{1}{{e}^{2}}$,
因此,x∈(1,x0)時,φ'(x)=1+lnx+u(x-2x0)≥1+lnx-$\frac{1}{{e}^{2}}$>0
即φ(x)在(1,x0)上單調(diào)遞增,所以x1∈(1,x0)時,φ(x1)<φ(x0)=0即?式成立.
點評 本題主要考查了利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、零點定理以及構(gòu)造新函數(shù)、轉(zhuǎn)化思想等知識點,屬中等偏上題.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | $\left\{{x\left|{-1<x<-\frac{1}{3}或\frac{1}{3}<x<1}\right.}\right\}$ | B. | $\{x|-1<x<-\frac{1}{3}或0<x<\frac{1}{3}\}$ | ||
C. | $\left\{{x\left|{-\frac{1}{3}<x<0或\frac{1}{3}<x<1}\right.}\right\}$ | D. | $\left\{{x\left|{-\frac{1}{3}<x<0或0<x<\frac{1}{3}}\right.}\right\}$ |
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