Question

13．在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C所對的邊；
（1）、證明余弦定理：a²=b²+c²-2bccosA；
（2）、在ABC中2a²-bc=2（bccosA+cacosB+abcosC），求A．

Answer 1

分析 （1）（1）以A為坐標原點，AB所在直線為x軸，AB的垂線為y軸，建立平面直角坐標系，則C（bcosA，bsinA），B（c，0），可得$\overrightarrow{BC}$=（c-bcosA，bsinA）．再利用數(shù)量積運算性質(zhì)即可證明．
（2）利用余弦定理代入化簡可得b²+c²-a²=-bc，再利用余弦定理即可得出．

解答 （1）證明：（1）以A為坐標原點，AB所在直線為x軸，AB的垂線為y軸，建立平面直角坐標系，則C（bcosA，bsinA），B（c，0）
∴$\overrightarrow{BC}$=（c-bcosA，bsinA）．
∴a²=（c-bcosA）²+（bsinA）²=b²+c²-2bccosA．
（2）解：∵2a²-bc=2（bccosA+cacosB+abcosC），
∴2a²-bc=b²+c²-a²+c²+a²-b²+a²+b²-c²，
∴b²+c²-a²=-bc=2bccosA，
∴cosA=-$\frac{1}{2}$，A∈（0，π），
∴A=$\frac{2π}{3}$．

點評 本題考查了余弦定理的證明及其應(yīng)用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．