Question

18．已知A（-8，0），B（-2，0），動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|=2|PB|．
（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)A，斜率為$\frac{1}{2}$的直線l與P點(diǎn)的軌跡交兩點(diǎn)M，N，求△MNB的面積．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出P的坐標(biāo)，利用|PA|=2|PB|．直接求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）求出過(guò)點(diǎn)A，斜率為$\frac{1}{2}$的直線l的方程，計(jì)算B（-2，0）到直線的距離，|MN|，即可求△MNB的面積．

解答 解：（1）設(shè)點(diǎn)P（x，y），由題意：|PA|=2|PB|得：$\sqrt{（x+8）^{2}+{y}^{2}}$=2$\sqrt{（x+2）^{2}+{y}^{2}}$，
整理得到點(diǎn)P的軌跡方程為x²+y²=16；
（2）過(guò)點(diǎn)A，斜率為$\frac{1}{2}$的直線l的方程為y=$\frac{1}{2}$（x+8），即x-2y+8=0，
B（-2，0）到直線的距離為d=$\frac{|-2+8|}{\sqrt{5}}$=$\frac{6}{\sqrt{5}}$，
原點(diǎn)到直線的距離為$\frac{8}{\sqrt{5}}$，∴|MN|=2$\sqrt{16-\frac{64}{5}}$=$\frac{8}{\sqrt{5}}$，
∴△MNB的面積S=$\frac{1}{2}$|MN|d=$\frac{1}{2}×\frac{8}{\sqrt{5}}×\frac{6}{\sqrt{5}}$=$\frac{24}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查曲線軌跡方程的求法，考查三角形面積的計(jì)算，考查計(jì)算能力，直接列方程是關(guān)鍵．