Question

1．已知函數(shù)f（x）=|x-$\frac{1}{2}$|+|x+$\frac{1}{2}$|，M為不等式f（x）＜2的解集．
（Ⅰ）求M；
（Ⅱ）證明：當(dāng)a，b∈M時，|a+b|＜|1+ab|．

Answer 1

分析 （I）分當(dāng)x＜$-\frac{1}{2}$時，當(dāng)$-\frac{1}{2}$≤x≤$\frac{1}{2}$時，當(dāng)x＞$\frac{1}{2}$時三種情況，分別求解不等式，綜合可得答案；
（Ⅱ）當(dāng)a，b∈M時，（a²-1）（b²-1）＞0，即a²b²+1＞a²+b²，配方后，可證得結(jié)論．

解答 解：（I）當(dāng)x＜$-\frac{1}{2}$時，不等式f（x）＜2可化為：$\frac{1}{2}$-x-x-$\frac{1}{2}$＜2，
解得：x＞-1，
∴-1＜x＜$-\frac{1}{2}$，
當(dāng)$-\frac{1}{2}$≤x≤$\frac{1}{2}$時，不等式f（x）＜2可化為：$\frac{1}{2}$-x+x+$\frac{1}{2}$=1＜2，
此時不等式恒成立，
∴$-\frac{1}{2}$≤x≤$\frac{1}{2}$，
當(dāng)x＞$\frac{1}{2}$時，不等式f（x）＜2可化為：-$\frac{1}{2}$+x+x+$\frac{1}{2}$＜2，
解得：x＜1，
∴$\frac{1}{2}$＜x＜1，
綜上可得：M=（-1，1）；
證明：（Ⅱ）當(dāng)a，b∈M時，
（a²-1）（b²-1）＞0，
即a²b²+1＞a²+b²，
即a²b²+1+2ab＞a²+b²+2ab，
即（ab+1）²＞（a+b）²，
即|a+b|＜|1+ab|．

點評 本題考查的知識點是絕對值不等式的解法，不等式的證明，難度中檔．