Question

【題目】如圖，已知焦點(diǎn)在軸上的橢圓的中心是原點(diǎn)，離心率為，以橢圓的端州的兩端點(diǎn)和兩焦點(diǎn)所圍成的四邊形的周長(zhǎng)為8，直線(xiàn)：與軸交于點(diǎn)，與橢圓交于不同兩點(diǎn)，．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

試題分析：（1）由焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)為，可得的值，運(yùn)用離心率公式和，，的關(guān)系，解方程可得，，進(jìn)而得到橢圓方程；（2）由題意可得，設(shè)，，運(yùn)用向量共線(xiàn)的坐標(biāo)表示和直線(xiàn)方程代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，可得，代入，再由不等式的性質(zhì)，可得所求范圍．

試題解析：（1）由已知可得以橢圓的短軸的兩端點(diǎn)和兩焦點(diǎn)所圍成的四邊形的周長(zhǎng)為，．

又，∴，，

∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

（2）根據(jù)已知得，設(shè)，，

由得，

由已知得，即，

且，，

∵，∴，∴，

代入上式可得，，

所以，得，代入，

整理得，∴的取值范圍是．