Question

給出以下四個命題中，真命題的個數(shù)為（　　）
①

∫

2 -2

[

4-x2

+lg（

1+x2

-x）]dx=2π；
②函數(shù)y=3•2^x+1的圖象可以由函數(shù)y=2^x的圖象僅通過平移得到；
③函數(shù)y=

1

2

ln

1-cosx

1+cosx

與y=lntan

x

2

是同一函數(shù)；
④在△ABC中，若

AB • BC

3

=

BC • CA

2

=

CA • AB

1

，則tanA：tanB：tanC=3：2：1．

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,簡易邏輯

分析：①利用圓的面積計算公式與定積分的幾何意義可得

∫

2 -2

4-x2

dx=2π，而函數(shù)f（x）=lg（

1+x2

-x）是奇函數(shù)，可得

∫

2 -2

lg(

1+x2

-x)dx=0．即可判斷出；
②函數(shù)y=3•2^x+1的圖象可以由函數(shù)y=2^x的圖象通過伸縮變換可得y=3•2^x，因此不可能僅通過平移得到；
③利用倍角公式與對數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)y=ln

1-cosx 1+cosx

=ln|tan

x

2

|與y=lntan

x

2

的函數(shù)定義域不同，即可判斷出；
④在△ABC中，由

AB • BC

3

=

BC • CA

2

=

CA • AB

1

，利用數(shù)量積定義與正弦定理可得

sinAsinCcosB

3

=

sinAsinBcosC

2

=

sinBsinCcosA

1

，可得tanA：tanB：tanC=6：2：3．

解答： 解：①：∵

∫

2 -2

4-x2

dx=

1

2

π×22=2π，∵函數(shù)f（x）=lg（

1+x2

-x）滿足f（-x）=-f（x）是奇函數(shù)，∴

∫

2 -2

lg(

1+x2

-x)dx=0．
∴

∫

2 -2

[

4-x2

+lg（

1+x2

-x）]dx=2π，正確；
②函數(shù)y=3•2^x+1的圖象可以由函數(shù)y=2^x的圖象通過伸縮變換可得y=3•2^x，再經(jīng)過平移變換可得y=3•2^x+1，因此不可能僅通過平移得到，不正確；
③函數(shù)y=

1

2

ln

1-cosx

1+cosx

=ln

1-cosx 1+cosx

=ln|tan

x

2

|與y=lntan

x

2

的函數(shù)定義域不同，不是同一函數(shù)，不正確；
④在△ABC中，∵

AB • BC

3

=

BC • CA

2

=

CA • AB

1

，∴

-accosB

3

=

-abcosC

2

=

-bccosA

1

，
由正弦定理可得

sinAsinCcosB

3

=

sinAsinBcosC

2

=

sinBsinCcosA

1

，則tanA：tanB：tanC=6：2：3．因此不正確．
綜上可得：只有①正確．
故選：A．

點評：本題考查了簡易邏輯的有關(guān)知識、定積分的計算、三角函數(shù)變換、函數(shù)的三要素、正弦定理的應(yīng)用，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．