Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+bx+c，a≠0，其中a∈N^*，b∈N，c∈Z，并且b＞2a，函數(shù)y=f（sinx）（x∈R）最大值為2，最小值為-4，
（1）求f（x）的表達(dá)式；
（2）已知a＞0，若對(duì)任意x₁∈R，總存在x₂∈（0，

3π

4

），使得f（x₁）＞

a

2

cosx₂-4恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題,二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求f（x）的表達(dá)式；
（2）根據(jù)不等式恒成立，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值即可．

解答： 解：（1）由函數(shù)f（x）開(kāi)口向上，對(duì)稱軸x=-

b

2a

＜-1知，f（x）在[-1，1]上為增函數(shù)，
故f（1）=a+b+c=2，f（-1）=a-b+c=-4，
所以b=3，a+3=-1，
又b＞2a，
故a=1，c=-2，
則f（x）=x²+3x-2．
（2）因?yàn)閤₂∈（0，

3π

4

），
所以

a

2

cosx₂-4∈（-

2 a

4

-4，

a

2

-4），
若對(duì)任意x₁∈R，總存在x₂∈（0，

3π

4

），使得f（x₁）＞

a

2

cosx₂-4恒成立，
那么f（x）_min＞-

2 a

4

-4，-

17

4

＞-

2 a

4

-4，解得a＞

2

2

，
綜上a＞

2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)不等式恒成立轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值是解決本題的關(guān)鍵．