Question

4．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x^3}-2ax+1，x≥2\\{（a-1）^x}-7，x＜2\end{array}$是R上的增函數(shù)，則a的取值范圍為（　　）

• A． （2，3]
• B． （2，3）
• C． [2，3]
• D． （2，6]

Answer 1

分析 根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)建立不等式關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：要使函數(shù)是R上的增函數(shù)，
則滿足當(dāng)x＜2時，函數(shù)為增函數(shù)，參數(shù)a-1＞1，得a＞2，
當(dāng)x≥2時，函數(shù)為增函數(shù)，此時函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=3x²-2a≥0恒成立，即a≤$\frac{3}{2}$x²，
∵x≥2，∴$\frac{3}{2}$x²≥6，則a≤6，
且f（2）≥（a-1）²-7，
即8-4a+1≥（a-1）²-7，
即（a-1）²≤16-4a，
即a²+2a-15≤0，
得-5≤a≤3，
綜上$\left\{\begin{array}{l}{a＞2}\\{a≤6}\\{-5≤a≤3}\end{array}\right.$得2＜a≤3，
故選：A

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，根據(jù)分段函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)建立不等式的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．